Тензорное произведение гильбертовых пространств

Question

Тензорное произведение гильбертовых пространств

Прахар

Этот вопрос касается определения тензорного произведения гильбертовых пространств, которое я нашел в книге Вальда по КТП в искривленном пространстве-времени. Давайте сначала разберемся с обозначениями.

Позволять $(V,+,*)$ обозначить набор $V$ , вместе с $+$ и $*$ являющиеся картами сложения и умножения на $V$ которые удовлетворяют аксиомам векторного пространства. Определим комплексно-сопряженное умножение ${\overline *}:{\mathbb C} \times V \to V$ как

с \bar{*} Ψ "=" \bar{с} * Ψ, \forall Ψ е В

$c {\overline *} \Psi = {\overline c} * \Psi,~~\forall~~\Psi \in V$ Векторное пространство, образованное

(V, +, \bar{*})

$(V,+,{\overline *})$ называется комплексно-сопряженным векторным пространством и обозначается

\bar{V}

${\overline V}$ .

Учитывая два гильбертовых пространства ${\cal H}_1$ и ${\cal H}_2$ и ограниченное линейное отображение $A: {\cal H}_1 \to {\cal H}_2$ , определим сопряженное этого отображения $A^\dagger: {\cal H}_2 \to {\cal H}_1$ как

{⟨ Ψ_{2}, А Ψ_{1} ⟩}_{{ЧАС}_{2}} "=" {⟨ А^{†} Ψ_{2}, Ψ_{1} ⟩}_{{ЧАС}_{1}}

$\left< \Psi_2, A \Psi_1 \right>_{{\cal H}_2} = \left< A^\dagger \Psi_2 , \Psi_1 \right>_{{\cal H}_1}$ где

{⟨, ⟩}_{H_{1}}

$\left< ~, ~ \right>_{{\cal H}_1}$ является внутренним продуктом, как определено на

H_{1}

${\cal H}_1$ (аналогично для

H_{2}

${\cal H}_2$ ) и

Ψ_{1} \in H_{1}, Ψ_{2} \in H_{2}

$\Psi_1 \in {\cal H}_1,~\Psi_2 \in {\cal H}_2$ . То, что такое отображение всегда существует, можно доказать с помощью леммы Рисса.

Здесь слово «ограниченный» просто означает, что существует некоторое $C \in {\mathbb R}$ такой, что

{‖ А (Ψ_{1}) ‖}_{{ЧАС}_{2}} \leq С {‖ Ψ_{1} ‖}_{{ЧАС}_{1}}

$\left\| A(\Psi_1) \right\|_{{\cal H}_2} \leq C \left\| \Psi_1 \right\|_{{\cal H}_1}$ для всех

Ψ_{1} \in H_{1}

$\Psi_1 \in {\cal H}_1$ и где

{‖ ‖}_{H_{1}}

$\left\| ~~ \right\|_{{\cal H}_1}$ является нормой, как определено на

H_{1}

${\cal H}_1$ (аналогично для

H_{2}

${\cal H}_2$ )

Большой! Теперь о заявлении. Вот.

Тензорное произведение, ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ , двух гильбертовых пространств, ${\cal H}_1$ и ${\cal H}_2$ , можно определить следующим образом. Позволять $V$ обозначим множество линейных отображений $A: {\overline {\cal H}}_1 \to {\cal H}_2$ , которые имеют конечный ранг, т.е. такие, что диапазон $A$ является конечномерным подпространством ${\cal H}_2$ . $V$ имеет естественную структуру векторного пространства. Определить внутренний продукт на $V$ к
${⟨ А, Б ⟩}_{В} "=" тр (А^{†} Б)$ $\left< A, B \right>_V = \text{tr}\left( A^\dagger B \right)$ (Правая часть приведенного выше уравнения определена корректно, поскольку $A^\dagger B: {\overline {\cal H}}_1 \to {\overline {\cal H}}_1$ имеет конечный ранг). Мы определяем ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ быть гильбертовым пополнением пространства $V$ . Следует, что ${\cal H}_1 \otimes {\cal H}_2$ состоит из всех линейных карт $A: {\overline {\cal H}}_1 \to {\cal H}_2$ которые удовлетворяют условию Гильберта-Шмидта $\text{tr}\left( A^\dagger A \right) < \infty$ .

мой вопрос

1. Как это определение тензорного произведения гильбертовых пространств согласуется с тем, с которым мы знакомы, имея дело с тензорами в общей теории относительности?

PS - У меня также есть аналогичная проблема с определением Уолда прямой суммы гильбертовых пространств. Я решил вынести это в отдельный вопрос. Если вы можете ответить на этот вопрос, пожалуйста, подумайте о том, чтобы проверить и этот. Его можно найти здесь . Спасибо!

Прахар

Я разобрался с первой проблемой. Убрал из вопроса.

Qмеханик

О тензорах см. также physics.stackexchange.com/q/32011/2451 и ссылки в нем.

Тримок

Если мы будем рассматривать только векторы, у вас возникнет проблема, потому что гильбертово пространство имеет положительно определенный скалярный продукт, а касательное пространство пространственно-временного многообразия имеет псевдориманову метрику (метрику типа Минковского)

Ответы (3)

Тензорное произведение гильбертовых пространств

Я разобрался с первой проблемой. Убрал из вопроса.
О тензорах см. также physics.stackexchange.com/q/32011/2451 и ссылки в нем.
Если мы будем рассматривать только векторы, у вас возникнет проблема, потому что гильбертово пространство имеет положительно определенный скалярный продукт, а касательное пространство пространственно-временного многообразия имеет псевдориманову метрику (метрику типа Минковского)

Qмеханик · Answer 1

Пусть дана ( моноидальная ) категория ${\cal C}$ , например, категория конечномерных векторных пространств, категория гильбертовых пространств и т. д.

В такой категории ${\cal C}$ , обычно имеет место изоморфизм

\begin{matrix} (1) & ЧАС \otimes К ≅ л ({ЧАС}^{*}, К), \end{matrix}

$\tag{1} {\cal H} \otimes {\cal K} \cong {\cal L}({\cal H}^{*}, {\cal K}),$

где ${\cal H}^{*}$ является двойным объектом, и ${\cal L}$ является подходящим пространством морфизмов ${\cal H}^{*}\to {\cal K}$ .

Часто учебники не дают фактического определения тензорного произведения , которое, тем не менее, хотя бы частично объясняется в Википедии, а вместо этого обманывают, используя изоморфизм (1) в качестве рабочего определения тензорного произведения. ${\cal H} \otimes {\cal K}$ .

@Qmechanics Мне интересно, о каком «фактическом определении» вы говорите. Я имею в виду, что, по крайней мере, в конечной размерности, имея дело с реальными векторными пространствами, тензорное произведение - это не что иное, как просто векторное пространство. $V$ с операцией $\otimes$ который подчиняется универсальному свойству.

Бибопбутнестади · Answer 2

Я не думаю, что Вальд когда-либо определял тензорное произведение для бесконечномерного пространства в своем тексте по ОТО, поэтому я полагаю, что ваш вопрос касается конечномерного случая, когда мы просто пишем тензорное произведение как векторное пространство над парами. $u_iv_j$ где $u$ и $v$ являются основой. Я покажу эквивалентность в этом случае.

Если у нас есть два конечномерных гильбертовых пространства $H_1$ , $H_2$ мы можем взять ортонормированные базисы $u_i\in H_1$ , $v_j\in H_2$ . Поскольку все конечномерно, все имеет конечный ранг, поэтому векторное пространство — это просто пространство линейных отображений из $H_1$ к $H_2$ . Возьмите линейную карту $A$ и определить $a_{ij}= \langle A(u_i),v_j\rangle = \langle u_i,A^{\dagger}(v_j)\rangle$ . Используя ортонормированность оснований, это означает $a_{ij}$ это просто матричное представление $A$ , а векторное пространство - это просто подходящее векторное пространство матриц. Тогда мы можем интерпретировать $Tr(A^\dagger B)$ как обычный матричный след, который дает $\sum_{ij} a_{ij}^*b_{ij}$ .

Это эквивалентно обычным обозначениям, когда мы записываем тензорные произведения как элементы $\sum_{ij}a_{ij}u_i\otimes v_j$ . Опять же, векторное пространство — это матрицы соответствующего размера. Внутренний продукт определяется как $\langle a\otimes b, c\otimes d\rangle = \langle a,b\rangle\cdot\langle c,d\rangle$ . Это дает тот же результат, что и выше, после подключения базы.

Это не из его текста ГР. Это из его текста о КТП в искривленном пространстве-времени.
@Prahar: Да, я знаю. Просто вы сказали, что хотите, чтобы определение было эквивалентно «обычному» в GR, но не уточнили, что такое обычное. Итак, я предполагаю, что вы имели в виду обычную конечномерную нотацию, как в его книге по ОТО.

Найма · Answer 3

Вальд определяет тензорное произведение гильбертовых пространств, которые не обязательно должны быть конечномерными. В противном случае $V$ будет автоматически набор карт с конечным диапазоном. $V'$ завершение $V$ т. е. его элементы являются классами эквивалентности последовательностей Коши. Таким образом, норма трассировки распространяется на $V'$ .

{ЧАС}_{1} \otimes {ЧАС}_{2}

${H_1} \otimes {H_2}$ определяется как это завершение.

Тензорное произведение гильбертовых пространств

Прахар

Прахар

Qмеханик

Тримок

Ответы (3)

Qмеханик

МНРая

Бибопбутнестади

Прахар

Бибопбутнестади

Прахар

Найма

Прямая сумма гильбертовых пространств

Интуитивный смысл экспоненциальной формы унитарного оператора в квантовой механике

Оснащенное гильбертово пространство в квантовой механике и обобщенное понятие последовательности

Приложения спектральной теоремы к квантовой механике

Вакуум в квантовых теориях поля: что это такое?

Упрощение суммы произведений коэффициентов Клебша-Гордана

Собственные векторы pxpxp_x в конкретном домене

Можно ли рассматривать собственные состояния гильбертова пространства как дельта-функции?

Симметричные (по существу) самосопряженные операторы и спектральная теорема

Существует ли функция, интегрируемая с квадратом и не стремящаяся к нулю на бесконечности, но принадлежащая области определения оператора импульса?