Какой вывод скорости дрейфа является правильным?

Значения, которые вы даете для скорости дрейфа, взяты из примитивного приближения, которое неправильно учитывает статистическую природу движения. Столкновение не хаотично меняет скорость сразу, и неправда, что существуют дискретные столкновения, столкновения классической частицы в плотной среде происходят более или менее непрерывно, поскольку частица толкает другие, и это толкание нелегко описать.

Таким образом, скорость, которую вы получаете из этих уравнений, является только оценкой порядка величины, их не следует воспринимать слишком серьезно, они дают вам только приблизительное представление о том, как движутся заряженные частицы. В этом смысле два ответа одинаковы, потому что отличаются только в 2 раза. Ни один из них не является правильным.

Важно сразу сказать, что эта классическая идея «сиденья в штанах» совершенно неверна для электронов в металлах, она лишь приблизительно справедлива для чего-то вроде ионной проводимости, например, для проведения тока в соленой воде за счет дрейфа Na+ и Cl-. ионы в растворе, осаждаясь на двух электродах. Это также более справедливо, когда частицы крупнее, например, заряженные молекулярные ионы в растворе, намного больше, чем молекулы воды. Движение электронов в металлах является высококвантовым, электроны образуют холодный ферми-газ, и этот газ никоим образом не может быть описан классическим смещенным тепловым дрейфом, даже в грубом приближении.

Но для крупномолекулярной ионной проводимости верна классическая модель случайного дрейфа, поскольку при комнатной температуре движение ионов в растворе является классическим. В рамках этой модели уместно задать вопрос, равна ли дрейфовая скорость ионов${e\over m} \tau E$или половина этого значения, или удвоенное это значение.

Но чтобы дать ответ, нужно более точное определение параметра$\tau$чем «среднее время между столкновениями». Это определение подходит только для интуиции и для оценок порядка величины. Правильное определение$\tau$представляет собой скорость релаксации скорости, экспоненциальную скорость убывания информации о скорости иона во времени. Если у вас есть скорость$v$на ионах он говорит вам, как рандомизируется скорость ионов.

Единственная причина существования такого параметра заключается в том, что случайный процесс столкновения классического иона (или любой классической частицы на тепловом фоне) может быть хорошо описан стохастическим уравнением. Это было обнаружено Эйнштейном и Смолуховским в 1905 году. Стохастические уравнения обычно считаются несколько более продвинутыми, чем элементарное описание в терминах длины свободного пробега, но они — единственный способ ответить на вопрос о факторах, такой как ваш вопрос, где среднее значение описание свободного пути неадекватно.

В стохастическом описании вы предполагаете, что у вас есть распределение вероятностей скорости иона в начальный момент времени, и вы спрашиваете, как распределение вероятностей изменяется во времени в течение долгого времени по сравнению со временем столкновения. Уравнение, которое говорит вам об этом, представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных, известное как уравнение Фоккера-Планка:

$${\partial_t \rho(v)} = -\partial_x ( D\partial_x\rho - {1\over\tau} v \rho)$$

Смысл этого уравнения можно прояснить, если представить его как текущее уравнение: оно говорит о том, что, когда у вас есть плотность вероятности$\rho(v)$с некоторой скоростью$v$, эта плотность вероятности имеет тенденцию к уменьшению$v$(второй член в скобках справа), с постоянной времени$\tau$, и если есть градиент вероятности, он имеет тенденцию сглаживаться за счет диффузии (первый член справа).

Чтобы найти стационарное распределение, вы делаете ток вероятности равным нулю,

$$D\partial_v \rho - {1\over \tau} v \rho = 0$$

$$\rho \propto e^{- v^2\over 2\tau D}$$

Но из общих принципов статистической механики мы знаем, что стационарное распределение скоростей частиц должно быть распределением Максвелла, которое также является гауссовым:

$$\rho \propto e^{-mv^2\over 2kT}$$

И это приводит к соотношению Эйнштейна:

$${1\over \tau D} = {m\over 2kT}$$

так что зная$\tau$определяет константу скорости диффузии$D$:

$$D = {2kT \tau \over m}$$

Это говорит вам о соотношении между скоростью, с которой скорость затухает (забывает свое начальное значение), и параметром$D$, который говорит вам, как рандомизируется скорость.

Если вы приложите силу к ионам, вы получите дополнительный дрейф тока вероятности:

$$\partial_t \rho = \partial_x( {2kT\tau\over m}\partial_x - {1\over\tau} v \rho + {F\over m}\rho)$$

Вы можете найти новое стационарное распределение и увидеть, что это гауссовское распределение с центром на новой скорости:

$$\rho(v) \propto e^{ - {m(v-v_d)\over 2kT}}$$

Отсюда и из того, что сила, действующая на ион,$qE$, можно найти скорость дрейфа:

$$v_d = {qE\tau \over m}$$

Параметр$\tau$поэтому является не чем иным, как точным аналогом неточного параметра «времени до столкновения», который вы даете, и когда классическая система подчиняется уравнению Фоккера-Планка (что обычно так и есть), вы находите это соотношение.

В этом уравнении нет множителей 1/2, поэтому ссылка, которую вы найдете, не дает этого. Но параметр$\tau$теперь определяется по-другому --- это не точно время до столкновения, это скорость релаксации скорости.

Чтобы лучше понять это, вы можете измерить уравнение: установите новую единицу времени в уравнении Фоккера-Планка как$\tau$, а единицей скорости будет (кв. 2 раза) тепловая скорость$2\sqrt{kT\over m}$. Тогда уравнение принимает вид:

$$\partial_t \rho = \partial_v ({1\over 2} \partial_v\rho) - v\rho)$$

Это уравнение можно математически превратить в уравнение Шредингера для мнимого времени, написав:

$$\rho(x) = e^{-v^2\over 2} \psi(x)$$

Это дает:

$$\partial_t \psi = - {1\over 2} \partial_v^2 \psi - (v^2 - {1\over 2}) \psi(v)$$

Что представляет собой уравнение Шрёдингера для мнимого времени для «волновой функции» в$v$(это просто математическая аналогия, которая позволяет мне использовать известные собственные значения СЭ, это не физика. Это оправдано тем, что оба уравнения описываются континуальным интегралом), с потенциалом гармонического осциллятора.

Уровни энергии этого гамильтониана являются собственными значениями дифференциального оператора, и они давали бы энергии в реальном времени, но они давали бы скорости распада в мнимом времени. Замена переменных из$\rho$к$\psi$не влияет на собственные значения, так что уравнение Фоккера-Планка во времени имеет скорости затухания, которые являются целыми числами. Итак, вы узнали, что скорость распада является целым числом, кратным единице времени.$\tau$.

Таким образом, параметр$\tau$имеет интерпретацию как естественная скорость затухания малых возмущений к распределению Максвелла-Больцмана. Таким образом, это естественное обобщение «времени до первого столкновения», это основной параметр, говорящий вам, как скоро скорость станет случайной в тепловом равновесии.

Формулировка стохастического уравнения

Вышеизложенное можно сделать более прозрачным, если вы позволите себе одно несколько более продвинутое понятие, понятие функции белого шума. Белый шум$\eta(t)$является производной броуновского движения. Это функция времени, которая полностью случайна в каждый момент времени, так что ее интеграл по любому интервалу представляет собой распределенную по Гауссу случайную величину дисперсии, равную ширине интервала.

Лучший способ определить это без математических помех — представить время в виде тонкой сетки интервалов.$\epsilon$, а потом$\eta$является независимо случайным в каждой точке решетки с распределением вероятностей, которое является гауссовским с центром в нуле ширины$1\over\sqrt{\epsilon}$.

$$\rho(\eta(x)) = e^{-{\eta(x)^2\over 2}\epsilon}$$

Умножая независимую вероятность в каждой точке, вы получаете сумму в показателе степени и распределение вероятностей для каждого набора возможных значений функции$\eta$. Я заменю сумму интегралом, так как$\epsilon$находится в правильном месте, чтобы сделать это.

$$e^{-\int {\eta^2\over 2} dt }$$

В терминах этого случайного шума уравнение движения броуновской частицы очень простое:

$$m{dv\over dt} = -{m\over \tau} v + \sqrt{2D}\eta$$

Вот и все! В нем говорится, что скорость стремится к нулю в соответствии с линейным законом трения с постоянной времени$1\over \tau$, а также получает случайные кики в каждый момент времени размером$\epsilon$, размер которого$\sqrt{2D\over\epsilon}$. Величина ударов расходится на крошечные$\epsilon$, но она случайна во всех направлениях, так что в основном компенсируется, а средняя энергия, переданная частице, находящейся в тепловом равновесии, за время$\tau$около$kT$(случайным образом). Статистический интеграл по путям$\eta$воспроизводит уравнение Фоккера-Планка так же, как интеграл по траекториям лагранжиана в квантовой механике воспроизводит уравнение Шредингера.

Если у вас есть внешняя сила, вы просто добавляете ее в правую часть:

$$m{dv\over dt} = -{m\over \tau} v + qE + \sqrt{2D}\eta$$

Среднее значение v представляет собой скорость дрейфа, и его можно найти, взяв среднее значение этого уравнения за долгое время, где все члены равны нулю, кроме тех, которые пропорциональны$v$, которые становятся$v_d$, усредненная скорость дрейфа:

$$-{m\over\tau} v_d + qE = 0$$

Из этого вы можете прочитать ваше отношение. Вы видите, что коэффициент$\tau$- постоянная времени убывания классической скорости. Вы также можете видеть, что статистические детали не важны — важно то, что существует долгосрочный предел, когда среднее значение случайной силы равно нулю, а среднее значение производной по времени от$v$также равен нулю.

Я остановлюсь и обосную утверждение о том, что в среднем$\eta$и${dv\over dt}$оба равны нулю на больших временах. Среднее значение$\eta$равен нулю по определению --- это величина, среднее значение которой по окну размера T пропорционально$\sqrt{T}$. Среднее значение$dv\over dt$является интегралом:

$${1\over T} \int_0^T dv = {v_f - v_i\over T}$$

причем как начальная, так и конечная скорости порядка тепловой скорости и постоянны, а$T$становится длинным.

Формулировка стохастического уравнения является наиболее естественной для таких задач.

Холодный газ Ферми

К сожалению, вы спросили об электронах, а не о заряженных частицах пыльцы или заряженных ионах в растворе. В случае электронов эта классическая картина совершенно неприменима.

В этом случае электроны движутся квантовым образом, так что они имеют решеточные волновые числа$k$и сделать распределение Ферми-Дирака при температуре$T$который имеет только тонкую кожу волновых чисел вблизи ферми$k$взволнованный. Только эти электроны участвуют в проводимости.

Когда вы прикладываете напряжение, электроны с волновыми числами, близкими к$k_f$набирают энергию от поля, а теряют энергию на рассеянии, но процесс вовсе не классический, потому что электроны не могут перейти в состояние, значительно меньшее, чем$k_f$, потому что эти состояния заняты, и они также не могут перейти в состояние значительно выше, чем$k_f$, так как$kT$много меньше энергии Ферми в системе.

Таким образом, эти электроны бегают в квантовых волнах, которые вынуждены иметь определенную скорость и могут менять направление только в ответ на примеси и фононы. Этот процесс рассеяния приводит к классическому сопротивлению, но для его расчета требуется квантово-механическая обработка, и это вопрос, отдельный от любой классической релаксации скорости.