Какую информацию я могу получить, если эллиптическая орбита пересекает круговую орбиту радиуса 𝑟 и скорость эллипса равна скорости окружности?

Хорошо, я бы подошел к этому следующим образом.

Часть 1: Истинная аномалия$\theta$в$r$с точки зрения эксцентриситета эллиптической орбиты$e$

Первое, с чего я бы начал, это уравнение Vis-Viva , которое для всех орбит вокруг определенного тела с определенным гравитационным параметром$\mu$относительная скорость ссылок$v$с радиальным расстоянием$r$и большая полуось$a$.

$$v^2 = \mu\left ( \frac{2}{r}-\frac{1}{a} \right )$$

Отсюда мы знаем, что если$v_{ellipse}$"="$v_{circular}$"="$v$в$r$, затем$r$"="$a$как для эллипса, так и для окружности.

Предоставленные вами уравнения для истинной аномалии$\theta$для эллиптических орбит переходит к следующему, как только мы подставляем в$r$для$a$. Мы просто возьмем тот, что находится в первом или втором квадранте.

$$\theta = \cos^{-1} \left ( \frac{r(1-e^2)}{re} - \frac{1}{e}\right )=\cos^{-1} \left ( \frac{(1-e^2)}{e} - \frac{1}{e}\right )$$

$$= \cos^{-1} \left ( -\frac{e^2}{e} \right ) = \cos^{-1} (-e)$$

Часть 2: Угол траектории полета$\gamma$в$r$с точки зрения эксцентриситета эллиптической орбиты$e$

Угол траектории полета ,$\gamma$(по ссылке это "Угол скорости относительно перпендикуляра к радиальному направлению"):

$$\gamma = \tan^{-1}\frac{e \sin \theta}{1 + e \cos\theta}$$

И, используя тригонометрические тождества, я могу получить (хотя я немного небрежен с моими$\pm$):

$$\gamma = \tan^{-1}\frac{e \sqrt{1-\cos^2 \theta}}{1 + e \cos\theta} = \tan^{-1}\frac{e \sqrt{1-e^2}}{1 - e^2} = \tan^{-1}\frac{e }{\sqrt{1-e^2}}$$

И спасибо ХопДэвиду за то, что он напомнил мне об обратных тригонометрических тождествах , потому что это означает, что для угла траектории полета

$$\gamma = \sin^{-1}e$$ Часть 3:$\Delta v$необходимо перейти с круговой на эллиптическую орбиту в$r$

И, как упоминал Дэвид Хаммен в комментариях, вы не можете выразить дельта-v исключительно с точки зрения$e$и$r$, потому что дельта-V будет абсолютно зависеть от$v$, и это будет зависеть от того, вокруг чего вы вращаетесь, и как далеко вы от него находитесь.

Если у вас есть угол траектории полета, скорость, вы можете обратиться к закону косинусов , чтобы получить дельта-V, поскольку мы просто рассматриваем сложение векторов с двумя сторонами величины.$v$разделены углом$\gamma$

$$\Delta v^2 = 2v^2 - 2v^2 \cos\gamma = 2v^2 - 2v^2 \cos\left({\sin^{-1}e}\right)$$ $$= 2v^2 \left(1 - \cos\left(\sin^{-1}e\right)\right)$$

На помощь снова приходит обратное тригонометрическое тождество, и:

$$\Delta v^2 = 2v^2(1 - \sqrt{1-e^2})$$

Еще раз спасибо ХопДэвиду за то, что указал мне на недостающий квадрат в законе косинусов. Это приводит нас к

$$\Delta v = \sqrt{2v^2(1 - \sqrt{1-e^2})}$$ По крайней мере, если нам позволят ввести гравитационный параметр$\mu$, мы можем перейти к уравнению скорости по круговой орбите : $$v = \sqrt{\frac{\mu}{r}}$$

И закончим следующим.

$$\Delta v = \sqrt{2\frac{\mu}{r} \left(1 - \sqrt{1-e^2}\right)}$$

но я не уверен, разрешено ли это буквой вопроса. Это согласуется с ответом ХопДэвида, и я благодарю его за помощь.

В своем превосходном ответе Нотови использовал уравнение живой природы, чтобы продемонстрировать, что одинаковые скорости означают, что r = a.

Основное свойство точек на эллипсе: сумма расстояния от одного фокуса плюс расстояние до другого фокуса равна 2а.

Таким образом, если радиус-вектор имеет ту же длину, что и большая полуось a, это означает, что конец радиус-вектора лежит на конце малой полуоси эллипса.

Без ограничения общности мы можем выбрать наши единицы измерения так, чтобы радиус окружности, а также большая полуось а были равны одной единице.

Используя эти единицы измерения, расстояние от центра эллипса до фокуса в центре системы равно e, эксцентриситету эллипса.

Используя основные определения тригонометрии, основанные на единичной окружности, мы можем видеть, что cos(θ) = -e. Так:

θ = акос (-е)

Теперь подставим векторы скорости:

Касательная к эллипсу на малой полуоси параллельна большой оси. Построим параллелограмм, используя радиус и вектор скорости в качестве сторон. Противоположные углы параллелограмма равны.

Вектор скорости на круговой орбите находится под углом 90º к радиус-вектору. Если прямая пересекает две параллельные прямые, то противоположные углы равны. Таким образом, мы знаем, что скорость vecotr от круговой орбиты также пересекает ребро параллелограмма, противоположное вектору положения под прямым углом.

Три угла треугольника в сумме дают 180º. Итак, мы знаем, что угол траектории полета λ равен углу cpf1.

Другой простой способ определения тригонометрических функций — использование прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Мы видим, что sin(λ) = e. Так:

λ = asin (е)

Теперь о dv в терминах r и e. Как все говорят, также необходимо использовать µ.

dV — основание равнобедренного треугольника, обе стороны которого имеют скорость круговой орбиты (µ/r)^(1/2). Как и нотовны, я использую закон косинусов, чтобы получить dV:

Нотовны обращается к тригонометрическим тождествам, чтобы получить cos(λ) = (1-e^2)^1/2. Я использую теорему Пифагора, чтобы показать это.

dV = (2(µ/r) (1 - (1-e^2)^1/2))^1/2

Мой ответ почти такой же, как и у Нотовны, но я использую визуальный подход и геометрию средней школы. Так что, надеюсь, мое объяснение более доступно визуальным мыслителям вроде меня.