Помогите с моим тензорным напряжением; как получить и рассчитать этот крутящий момент градиента гравитации твердого тела?

Тензоры меня напрягают.

Представьте длинный тонкий стержень на круговой орбите. Градиент силы тяжести будет создавать чистый крутящий момент на стержне всякий раз, когда он не ориентирован параллельно или перпендикулярно радиус-вектору (направлен вверх/вниз или направлен вперед/назад). Давайте сохраним задачу в 2D и проигнорируем ориентацию вне плоскости.

Видео Coursera 1: Gravity Gradient Torque Development из курса University of Colorado Boulder Kinetics: Studying Spacecraft Motion, преподаваемого Hanspeter Schaub, включает следующее:

л г "=" 3 г М Е р С 5 р С × [ я ] р С ,

который исходит из разложения первого порядка локального градиента силы тяжести.

Он объясняет, что в этот момент (около 16:30) вам нужно остановиться и подумать о системах координат и кадрах, и именно тогда я начинаю чувствовать, что этот парень убавил громкость первым!

Я предполагаю, что для бесконечно тонкого стержня в 2D тензор момента инерции равен

я "=" [ 1 12 м л 2 0 0 0 ] .

Что теперь? мне нужно получить грех ⁡ ( 2 θ ) каким-то образом, чтобы крутящий момент был равен нулю и при 0, и при 90 градусах. Какое тензорное магическое умножение может привести меня туда?

Первое издание SMAD дает:

3 мю р 0 3 ты е × ( я ⋅ ты е )

где ты е - единичный вектор в сторону надира. По сути, это то же самое, но магическая тензорная математика, вызывающая напряжение, написана немного по-другому. Скалярное произведение между двумя векторами дает скаляр, но здесь я не знаю, что делать.

В каждом случае р С или р 0 от центра Земли до центра масс стержня.

Вопрос: Как бы я получил это выражение для крутящего момента через угол θ что стержень делает относительно надира, так что крутящий момент имеет грех ⁡ ( 2 θ ) срок, используя мой простой двумерный момент инерции?

Пожалуйста, никаких приближений малых углов!

U. Colorado Boulder Kinetics: изучение движения космического корабля Coursera

Скриншот

СМАД

СМАД первое издание

возможно полезно? я вижу грех ⁡ ( 2 θ ) в уравнении A.16 здесь , но я выдохся...
@Paul Это из интуиции. Я знаю, что это должно быть там из-за симметрии.
Подсказка: вспомните, что с я н ( 2 θ ) "=" 2 с я н ( θ ) с о с ( θ ) . Все остальное должно быть прямо из этого связанного приложения.
@Paul, я бы хотел соединить точки. Прямо сейчас я не понимаю, как написать умножение тензора на вектор справа от него, получить новый вектор, а затем получить тригонометрию. Я не делал ничего подобного уже несколько десятков лет.
Умножение тензора ранга 2 на вектор ничем не отличается от умножения матрицы на вектор. Тригонометрические термины происходят из эйлеровых вращений в формуле для крутящего момента. Помните: отношение решает все!
Из какой книги это приложение? Есть что-то, что выглядит не совсем правильным в их определении р .

Ответы (1)

Позволять θ угол между направлением стержня и направлением на Землю, измеренный против часовой стрелки. Тогда в системе координат вы привыкли писать я как

[ 1 12 м л 2 0 0 0 ] ,
р С имеет вид
( р С потому что ⁡ θ р С грех ⁡ θ ) .
Затем я р С получается умножением матриц:
я р С "=" ( 1 12 м л 2 р С потому что ⁡ θ 0 ) ,
а перекрестное произведение равно
р С × я р С "=" − р С грех ⁡ θ ⋅ 1 12 м л 2 р С потому что ⁡ θ "=" − 1 24 м л 2 р С 2 грех ⁡ 2 θ .
(Строго говоря, векторное произведение — это трехмерный вектор, но если мы ограничимся плоскостью, то этот вектор всегда перпендикулярен этой плоскости, поэтому мы можем рассматривать его как скаляр.)

И окончательный результат

л г "=" − г М Е м л 2 8 р С 3 грех ⁡ 2 θ .

Это отлично! Вероятно, я выстрелил себе в ногу, пытаясь перевести трехмерную задачу в двухмерную, а не просто оставить несколько нулей. Большое спасибо!
Действительно ли мгновенное угловое ускорение тонкого стержня не зависит от длины (в первом порядке), а просто θ ¨ "=" ю ˙ "=" − ( 3 г М Е / 2 р С 3 ) грех ⁡ ( 2 θ ) ? Максимальная скорость составляет около 0,4 градуса в минуту ^ 2 при 45 градусах; это круто!
@uhoh Не за что. И да, ваша формула кажется правильной.
сладкий! Я использовал его здесь сейчас.
Помогите с моим тензорным напряжением; как получить и рассчитать этот крутящий момент градиента гравитации твердого тела?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v