Катастрофа Планка?

При выводе формулы черного тела Планка числовая плотность нормальных мод (на единицу частоты † ) находится по формуле

Н ( ю ) "=" В π 2 с 3 ю 2 ,
где В это объем черного тела. Тогда средняя энергия моды частоты ю рассчитывается с помощью квантования Планка, что энергия нормальной моды с частотой ю может быть только н ℏ ю для некоторого целого числа н .

Но подожди минутку!

Энергия линейного квантового осциллятора с частотой ю возможно ( н + 1 / 2 ) ℏ ю , и поскольку при выводе формулы Планка проводится аналогия нормальных мод электромагнитных волн внутри полости черного тела с нормальными модами линейного осциллятора, я ожидаю, что мы учтем эту «энергию нулевой точки» , ϵ ю "=" ℏ ю / 2 для каждого нормального режима. Обратите внимание, что эта нулевая энергия, ϵ ю зависит от ю .

Но если я приму это во внимание, то получу странные результаты!

Средняя энергия нормальной моды частоты ю затем дается

⟨ Е ю ⟩ "=" ℏ ю е ℏ ю / к Б Т − 1 + ϵ ю ,
и это приводит к следующей плотности энергии.

р ( Т , ю ) "=" 1 В Н ( ю ) ⟨ Е ю ⟩ "=" ℏ π 2 с 3 ю 3 е ℏ ю / к Б Т − 1 + 1 π 2 с 3 ю 2 ϵ ю ⏟ дополнительный срок

Теперь этот результат катастрофичен! Пока не ϵ ю "=" 0 для всех ю ( в этом случае это совпадет с «правильной» формулой Планка), р расходится как ю → ∞ .

Вопросы: Так какой же выход? Часто проводимая аналогия с квантовым осциллятором явно неверна? Для электромагнитного излучения энергия нулевой точки точно равна нулю для всех ю с?

† Под частотой я подразумеваю угловую частоту.

Ответы (1)

Термодинамика занимается изучением изменений . Например, первый закон г U "=" п г В + Т г С выражает изменение энергии через работу и тепловой поток.

Обратите внимание, что энергия нулевой точки зависит только от частоты и фундаментальных констант. Нет никакого внешнего параметра, который мы могли бы изменить, чтобы изменить энергию нулевой точки. Таким образом, энергия нулевой точки, с термодинамической точки зрения, не связана с остальной частью системы, и поэтому ею можно пренебречь.

Теперь есть некоторые предостережения.

Во-первых, не совсем верно, что флуктуации не связаны с внешним параметром. Если рассматривать коробку с подвижными отражающими стенками, то есть разница в том, сколько энергии нулевой точки содержится в коробке, тогда было бы в эквивалентном количестве пустого пространства без отражающих стенок. Причина в том, что отражающие стенки накладывают граничные условия, исключающие часть мод из суммы по н . Эта разница в энергии приводит к тому, что на стенки ящика действует сила Казимира . Однако это очень небольшой эффект.

Во-вторых, гравитация должна сочетаться с этими колебаниями. Существует бесконечная (или, по крайней мере, очень большая) величина плотности энергии, источником которой являются нулевые флуктуации, которые должны вызывать бесконечное (или, по крайней мере, очень большое) ускорение Вселенной, но мы этого не наблюдаем. Это проблема космологической постоянной, для которой нет общепризнанного решения.

Но здесь я не смотрю на изменения. Я нахожу плотность энергии в состоянии равновесия. Так что я не думаю, что пренебрежение нулевой энергией вполне оправдано.
Я мог бы предположить, что существует плотность энергии «призраков», которая существует, но не связана с каким-либо экспериментально контролируемым параметром и не оказывает никакого влияния ни на какие эксперименты. С одной стороны, я мог бы настоять на том, чтобы вы включили в свои расчеты плотность энергии призраков, с другой стороны, если вы просто исключите вклад призраков, вы получите тот же ответ для любой наблюдаемой величины. Ситуация аналогична энергии нулевой точки, за исключением очень особых ситуаций, когда ее необходимо учитывать (например, эффект Казимира или, может быть, гравитация).
Извините, но я не могу понять эту "связку с экспериментально контролируемым параметром". Можете ли вы уточнить (или указать мне на какой-то ресурс)?
Другими словами, вы не можете преобразовать энергию нулевой точки в любой другой вид энергии и наоборот. Так что с точки зрения термодинамики нет смысла включать этот вид энергии. Это похоже на коробку, с которой вы не можете обменяться энергией или энтропией, вы можете сказать, что коробка есть, но у нее нет видимых последствий. Эффект Казимира — это единственная известная мне ситуация, когда вам действительно нужно его включать, но для > 99% приложений вам не нужно беспокоиться об эффекте Казимира.
Это аналогично (но не совсем то же самое) утверждению, что энергия определяется только с точностью до общей константы.
О, теперь это имеет больше смысла для меня. Спасибо!
Катастрофа Планка?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v