Каждое ли решение уравнения поля Эйнштейна уникально?

Уравнение Эйнштейна

$$G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.$$

Левая часть уравнения,$G_{ab}$, называется тензором Эйнштейна . Это выражение, включающее вторые производные метрики,$g_{ab}.$

Правая часть уравнения,$T_{ab}$, называется тензором энергии-напряжения . Каждый тензор энергии-импульса связан с уникальной конфигурацией материи.

Учитывая конкретную конфигурацию материи,$T_{ab}$, мы можем полностью указать$G_{ab}.$Но$G_{ab}$включает производные метрики, а не саму метрику. Таким образом, указание$G_{ab}$не определяет метрику однозначно. На самом деле существует множество разных метрик, которые могут привести к одному и тому же тензору Эйнштейна и, следовательно, к одной и той же конфигурации материи. Таким образом, ответ на ваш первый вопрос — нет , можно иметь несколько разных метрик с одной и той же конфигурацией материи.

Учитывая конкретный показатель,$g_{ab}$, мы можем полностью указать$G_{ab}$взяв производные. С$T_{ab} = G_{ab} / 8 \pi$, указание метрики также полностью определяет тензор энергии-импульса и, следовательно, конфигурацию материи. Таким образом, ответ на ваш второй вопрос — нет , невозможно иметь одну метрику, соответствующую нескольким конфигурациям материи.

Редактировать: как указывает пользователь Timaeus в комментариях, тензор энергии-импульса$T_{ab}$не связан с уникальной конфигурацией материи. Например, он не несет никакой информации об электрическом заряде. С точки зрения чистой ОТО это не имеет значения, так как не влияет на искривление пространства-времени. Однако при рассмотрении негравитационных эффектов (таких как электростатические силы и т. д.) утверждение «каждый тензор энергии-импульса связан с уникальной конфигурацией материи» не выполняется.