Решения уравнений поля Эйнштейна, где Tµν=0Tµν=0T _{\mu \nu} = 0

Мой уровень/предыстория:

Я только что закончил свой первый год бакалавриата. В старшей школе я закончил AP Physics C Mechanics and Electricity and Magnetism. На первом курсе бакалавриата я закончил курс ньютоновской механики и курс специальной теории относительности и электромагнетизма, которые примерно следовали разделам по этим темам в «Фейнмановских лекциях по физике».

Вопрос

В свободное время я начинаю погружаться в тензорный анализ и общую теорию относительности, и у меня возникает некоторая путаница с уравнением поля Эйнштейна.

Уравнение поля Эйнштейна (без космологической постоянной) утверждает, что г мю ν "=" 8 π г с 4 Т мю ν где г мю ν "=" р мю ν − 1 2 р г мю ν – тензор кривизны Эйнштейна.

В большинстве научно-популярных объяснений ОТО говорится, что материя и энергия (или, я полагаю, их плотность и поток), которые представлены Т мю ν , заставляют пространство-время искривляться, что, как я полагаю, представлено тензором кривизны г мю ν . Затем объекты движутся по кратчайшему пути собственного времени (геодезическому) в этом искаженном пространстве-времени.

Они часто делают это, давая довольно вводящую в заблуждение картину помещения большой массы на батут, где тканью батута является пространство-время, и показывая, как большая масса заставляет ткань изгибаться и как это влияет на движение меньших предметов, брошенных на нее. батут.

В случае сферической невращающейся планеты я предполагаю Т мю ν является 0 везде, кроме того места, где находится планета. Так что это означает г мю ν "=" 0 везде, кроме планеты.

Мой вопрос: означает ли это, что за пределами планеты нет кривизны (или кривизна Эйнштейна отличается от обычной кривизны)? Поскольку это, по-видимому, подразумевает, что не будет искривления пространства-времени за пределами планеты, что явно неверно, поскольку объекты действительно вращаются вокруг Солнца.

Или значение Т мю ν внутри планеты (где оно ненулевое) влияют на кривизну пространства-времени вне планеты (где оно равно нулю) в большом радиусе вокруг нее?

Подводя итог, как лучше всего представить, как масса и энергия влияют на кривизну пространства-времени вокруг них?

странная гибкость Калифорнийского технологического института, но ладно

Ответы (2)

Здесь задействованы четыре разных тензора кривизны. Полная информация о кривизне закодирована в тензоре Римана р мю т ν о , и все остальные три тензора являются производными от него.

Тензор Риччи представляет собой сокращение

р мю ν "=" р мю о ν о "=" г о т р о мю т ν .

Скаляр Риччи представляет собой сокращение

р "=" г мю ν р мю ν .

Тензор Эйнштейна

г мю ν "=" р мю ν − 1 2 р г мю ν .

Исчезновение г мю ν подразумевает исчезновение р мю ν . Это легко показать: сократите определение г мю ν с обратной метрикой г мю ν , вы получите

0 "=" г мю ν г мю ν "=" ( 1 − г 2 ) р .

Здесь г "=" г мю ν г мю ν есть размерность пространства-времени. Пока не г "=" 2 , мы должны иметь р "=" 0 . Теперь подставьте этот результат в определение г мю ν чтобы получить

0 "=" г мю ν "=" р мю ν − 1 2 ⋅ 0 ⋅ г мю ν "=" р мю ν .

Следовательно, в вакууме тензор Риччи обращается в нуль. На самом деле Эйнштейн пришел к этому заключению еще до того, как была завершена окончательная форма его уравнений для гравитации. Он попытался обобщить его как р мю ν "=" κ Т мю ν сначала, и это не сработало, что привело его к определению г мю ν .

Однако, р мю ν "=" 0 не подразумевает р ν о т мю "=" 0 . Пространство-время за пределами области, где находится планета, по-прежнему искривлено, хотя тензор Риччи обращается в нуль. Ваша интуиция также верна: если бы полный тензор Римана обращался в нуль за пределами внутренней области, занимаемой планетой, пробные тела в ее окрестностях не чувствовали бы ее гравитации, чего мы совсем не наблюдаем в природе.

Как именно вы математически использовали бы значение Т мю ν внутри планеты, чтобы выяснить, что р мю т ν о (кривизна Римана) находится в любой точке за пределами планеты? Кроме того, равенство уравнения поля Эйнштейна говорит о том, что значения кривизны Эйнштейна и тензора энергии-импульса (до 8 π г / с 4 ) в одних и тех же координатах (или месте в пространстве-времени) равны?
@mihirb это дифференциальное уравнение, очень похожее на другие дифференциальные уравнения, такие как Максвелл. Помните, как в электродинамике закон обратных квадратов Кулона можно вывести из локального дифференциального уравнения ∇ Е → "=" р / ε 0 ? Здесь происходит то же самое, только более математически. Посмотрите на примеры решений уравнений Эйнштейна, таких как, например, решение для коллапсирующей звезды. Вакуумные решения типа Шварцшильда также содержательны, но они получены для предельного случая, когда планета коллапсирует в точку (сингулярность).
Я понимаю. Я искал метрику Шварцшильда, и кажется, что вы можете сначала решить уравнения для метрики с учетом симметрий, которые вы предполагаете, а затем вы можете использовать метрику, чтобы найти значение кривизны Римана в любой точке в пространство-время. Таким образом, математически значение Т мю ν в уравнениях влияет на кривизну Римана в любой точке пространства-времени через метрику.
@mihirb да, вывод метрики Шварцшильда занимает Т мю ν во внимание, хотя и несколько странным образом из-за того, что источником этой метрики является бесконечно плотная сингулярность.
@Prof.Legolasov Решение Шваршильда - это внешнее решение, когда пространство-время сферически симметрично. Оно описывает пространство-время вне любого совершенно сферически симметричного невращающегося объекта, а не просто сжатого объекта (хотя только в этом случае оно описывает пространство-время везде).
Вдобавок к этому есть еще внутренняя метрика Шварцшильда .
@Prof.Legolasov Итак, я могу подумать о Т мю ν как источник искривления пространства-времени? Уравнения поля Эйнштейна затем описывают, как эта кривизна распространяется в пространстве-времени и в конечном итоге может вызвать кривизну на большом расстоянии от места, где Т мю ν ≠ 0 ? Похожий на ∇ ⋅ Е → "=" р / ϵ 0 говоря, как электрическое поле распространяется из заряда?
@mihirb это точно. Однако, в отличие от Максвелла, уравнения Эйнштейна нелинейны (это означает, что сумма решений сама по себе не является решением), что делает соответствующую математику гораздо более сложной.
@Prof.Legolasov Понятно. Допустим, в области пространства-времени не было массы, и вдруг в пространстве-времени появилась сферически-симметричная масса. Тогда кривизна, вызванная этой массой, которая начиналась только там, где было ненулевое Т мю ν , медленно расходиться в пространстве-времени из этой массы, в конечном итоге создавая кривизну на большом расстоянии вокруг себя, что соответствует метрике Шварцшильда? Описывают ли уравнения поля Эйнштейна что-то подобное?
Думаю, мне интересно, как именно кривизна создается локально в месте, где Т мю ν ≠ 0 распространяется, создавая кривизну в пространстве-времени, где Т мю ν "=" 0 вокруг массы. Или, по крайней мере, если есть способ математически описать это.
@mihirb эта ментальная модель по сути верна, но с оговоркой. Описанная Вами ситуация физически невозможна, т.к. Т мю ν должен удовлетворить Т ; ν мю ν "=" 0 . Тем не менее, можно сделать точное утверждение в соответствии с вашим ходом мыслей, из которого можно сделать вывод, что возмущения в распределении материи заставляют рябь (гравитационные волны) в геометрии пространства-времени распространяться наружу с локальной скоростью. с . Я не буду приводить здесь это точное утверждение, так как это длинная история, а комментарии не предназначены для расширенного обсуждения.

Это правда:

г мю ν "=" 0

на, скажем, космической станции... но ведь он же не просто сидит там, не так ли?

Посмотрите на уравнение Максвелла:

∇ ⋅ Е "=" р / ϵ 0

с тем же успехом мы могли бы сказать: «Заряд указывает электрическому полю, как расходиться, а электрическое поле говорит заряду, как двигаться» (перефразируя Дж. А. Уилера), но отсутствие расходимости вблизи заряда не означает отсутствие электрического поля.

Так же, г мю ν "=" 0 не означает г мю ν "=" η мю ν .

Спасибо! Сравнение с электромагнетизмом и ∇ ⋅ Е → "=" р / ϵ 0 был очень полезен.
Однако один вопрос. Какое поле в ОТО соответствовало бы электрическому полю в электромагнетизме? пространство-время? т. е. любая масса влияет на кривизну области пространства-времени вокруг нее подобно тому, как заряд создает электрическое поле в большой области вокруг себя? Я предполагаю, что локальные уравнения Эйнштейна в каждой точке могут сказать вам, как масса (область, где Т мю ν ≠ 0 ) воздействие на пространство-время может «выплескиваться» и влиять на искривление пространства-времени в месте расположения космической станции.
Решения уравнений поля Эйнштейна, где Tµν=0Tµν=0T _{\mu \nu} = 0
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v