Я много смотрел и читал на тему общей теории относительности и стоящей за ней геометрии. Я уверен, что могу получить аппроксимацию тензора энергии-импульса напряжения с помощью только метрического тензора, но если бы мне дали тензор энергии-импульса напряжения, я не уверен, как бы я вернулся, чтобы найти метрику . Как я могу использовать уравнения поля Эйнштейна , чтобы найти метрический тензор? Придется ли мне расширять все обозначения? Или есть какое-то уравнение, которое я могу подключить к своему компьютеру, чтобы получить его? Или есть какой-то другой способ?
Как вы описали, если у вас есть метрика, то у вас также есть само многообразие и все точки в нем, и вы можете использовать метрику для вычисления тензора Эйнштейна в каждой точке, а затем умножить на скалярную константу, чтобы получить стресс- тензор энергии (при условии отсутствия космологической постоянной).
Но обратное направление совсем другое. Например, если вы начали с многообразия (но никто не дал вам метрику, только топологическое пространство), а затем у вас был тензор энергии-импульса, определенный в каждой точке вашего многообразия, у вас уже есть много, так как у вас есть многообразие . Так что это может быть слишком много информации и может рассматриваться как мошенничество. Я также не уверен, что информации достаточно. Тензор энергии-импульса является исходным термином, это как в электромагнетизме, если кто-то дал вам заряд и ток, этого на самом деле недостаточно, чтобы найти поля, вам также нужны граничные условия.
Давайте рассмотрим простой, но трудный пример. Ваш коллектор , ваш тензор энергии-импульса равен . Есть много возможных показателей. У вас может быть метрика, соответствующая гравитационной волне, бегущей влево, одной бегущей вправо, одной вверх, одной вниз, одной вперед, одной назад. Или просто пустое плоское пространство, пространство-время специальной теории относительности. Это полностью похоже на ситуацию без заряда и без тока, у вас не может быть никаких полей или электромагнитной волны, идущей в любом направлении. Просто недостаточно информации.
Таким образом, наличие многообразия может быть «обманом», потому что это «слишком много» информации, но даже наличия многообразия и тензора энергии-импульса может быть недостаточно для получения уникального решения.
Если вы спрашиваете о том, как люди решают это. Люди ищут решения, и находят многие (хотя это довольно сложно). И они ищут решения, которые адекватно описывают экспериментальные установки и наблюдения.
И да, численные решения — это один из способов. В зависимости от вашей настройки может быть много решений или их может не быть вовсе, даже если они выполняются численно. И расчеты очень и очень трудно сделать хорошо, или даже сделать их хорошо.
Тимей