Я читал «Математические методы классической механики» Арнольда, и мне не ясно, чего именно он пытается достичь, вводя аффинное пространство для моделирования множества всех «позиций во Вселенной». Это, безусловно, более интуитивная модель мира, которая не предполагает большей структуры, чем требуется, но сразу после введения аффинной структуры он переходит к определению «движения» как гладкой карты. с некоторого интервала в векторное пространство . Скорость и ускорение определяются как производные от этой карты. После этого я не думаю, что он ссылается на аффинную структуру где-либо еще в книге, и он говорит только о карте. .
Вопросы -
1) Так что же такое карта движения должно быть? Следует ли его интерпретировать как своего рода вектор смещения, который развивается во времени и дает нам чистое смещение конкретной частицы? Более того, является ли это элементом векторного пространства, который действует на аффинное пространство для создания переводов?
2) В чем именно заключается структурная разница, вызванная наличием аффинного пространства позиций, а не векторного пространства? Это просто для того, чтобы мы предполагали меньше структуры, или есть какая-то реальная мотивация для ее введения?
Цель Арнольда — моделировать пространство и пространство-время бескоординатным способом. Для этого он идентифицирует места и события как точки в абстрактных аффинных пространствах. ( соответственно).
Проблема в том, что когда вы удаляете координаты, становится очень трудно определить многие важные динамические понятия и величины (например, силу и ускорение), не становясь чрезмерно абстрактными.
Чтобы обойти это, вы устанавливаете биекцию между абстрактным аффинным пространством и конкретное (координатизированное) аффинное пространство . Вы можете думать о последнем как о числовой сетке, расположенной поверх первого. Теперь вы можете определять свои динамические конструкции в терминах координат (например, используя исчисление) и косвенно определять их абстрактные аналоги.
Чтобы использовать ваш пример, движение (одной частицы) определяется Арнольдом как карта , что, очевидно, является определением в координатном пространстве . Однако если вы продолжите чтение, то увидите, что он описывает мировую линию как кривую в аффинном пространстве , которая проявляется как движение в координатном пространстве .
Таким образом, мировая линия определяется бескоординатным способом с использованием концепции движения как строительных лесов. Это дает вам представление о том, как абстрактные определения без координат часто получаются путем «оттягивания» определений, данных в канонических координатных пространствах.
Это стоит обдумать, потому что именно так обстоят дела в предмете дифференциальной геометрии , где бескоординатные многообразия (например, представляющие пространство и пространство-время) получают всевозможные сложные структуры, работая с координатным образом, а затем вытягивая вернуть результат в коллектор (и наоборот).
Хотя вы не ошибетесь, думая о движении как о непрерывной последовательности векторов смещения, изложенная здесь интерпретация намного лучше подготовит вас к изучению дифференциальной геометрии, лежащей в основе практически всей физики.