Оптимальный угол пуска снаряда с высоты над землей [закрыто]

Если вы говорите, что снаряд находится на высоте, то вы не можете сказать, что 45 градусов - это оптимальный угол пуска (впрочем, это было бы правильно на плоской плоскости с возвышением снаряда$h = 0$единицы измерения). Если же снаряд запущен на высоте$h$над плоскостью оптимальный угол будет равен функции$f(v_0,h)$.

Вы можете легко рассчитать время, необходимое для полета снаряда из$A$к$B$. За время, взятое из$B$к$C$, подумайте об энергии, которой обладает снаряд в двух точках. Также помните, что$x$составляющая скорости снаряда не меняется на протяжении всего полета. Вычислите общий диапазон в$x$направлении и помните, что наибольшее расстояние пройдено, когда$\frac{dR}{d\theta}=0$.

Упростите полученное уравнение, и вы получите оптимальный угол как функцию$f(v_0,h)$.

За время, пройденное от А до С,

X компонента скорости ($v_0\cos\theta$) не меняется на протяжении всего полета.

Сейчас$\frac{dR}{d\theta}=0$для максимальной дальности. Неявное дифференцирование очень полезно, как описано здесь .

Я постараюсь дать качественный ответ без необходимости математики.

В то время как угол 45° дает максимальное расстояние для одной и той же высоты, его необходимо скорректировать с учетом разницы высот, что приводит к более плоскому оптимальному углу. Почему?

Мы знаем, что снаряд движется по параболе, а это означает, что на своем пути вниз он пройдет высоту запуска под тем же углом, под которым был запущен.

Путь можно разделить на две части: часть выше запуска и часть ниже запуска.

Давайте представим угол немного более плоский, например, 44°. Часть над стартом по-прежнему будет проходить примерно такое же расстояние, как и запуск под углом 45° (близко к оптимальному, все меняется медленно), но продолжение (часть ниже запуска) будет проходить больше из-за более плоского угла.

Угол больше 45° не может привести к большему общему расстоянию, так как в этом случае обе части проходят меньшее расстояние (часть над запуском, потому что мы находимся далеко от оптимального угла в 45°, и часть ниже запуска из-за более крутого нисходящего угла). ).

Оптимум, безусловно, будет при некотором положительном, восходящем угле, так как запуск с нисходящей составляющей наверняка будет хуже (он уменьшает как горизонтальную скорость, так и время полета по сравнению с горизонтальным запуском).

Таким образом, остается вопрос, где между 0° и 45° оптимум. На это можно точно ответить, только используя математику, под некоторым углом, когда потеря дальности выше запуска больше не компенсируется выигрышем в дальности ниже запуска.

Угол максимальной дальности с высоты h не равен 45 градусам. Чтобы найти его, начните с уравнений компонентов: x =$v_o$cos(θ) t и y = h +$v_o$sin(θ) t – (1/2)g$t^2$= 0. Решите уравнение x для cos(θ) и уравнение y для sin(θ). Затем$sin(θ)^2$+$cos(θ)^2$= 1. Это приводит к квадратному уравнению в$t^2$что дает два положительных значения для t. Они соответствуют двум возможным углам поражения цели на известном расстоянии вниз. По мере приближения к максимальному диапазону углы (и время) сходятся. В этот момент квадратный корень в квадратном равен нулю. Вы можете установить его равным нулю и решить для$x^2$. С квадратным корнем в нуле квадратное дает$t^2$. Объедините их в уравнении x, чтобы получить cos (θ).

Если$h>0$тогда, как указывали другие ответы, время полета$t$- положительный корень квадратного числа, а диапазон$R=v_xt$является

где$\theta$- угол между углом запуска и вертикалью. Нахождение значения$\theta$который максимизирует$R$сложно, но если$\frac{gh}{v_0^2} << 1$мы можем приблизительно$R(\theta)$к

а потом

Когда$0 < \theta < 45^o$у нас есть$\frac{dR}{d \theta}>0$и в$\theta = 45^o$у нас есть$\frac{dR}{d \theta} \approx 4h > 0$, чтобы максимизировать$R(\theta)$нам нужно сделать$\theta$ больше чем $45^o$т.е. оптимальная траектория более пологая , чем при$h=0$.

Я знаю, что если снаряд приземляется на высоту, не равную высоте пуска, то формула, максимизирующая дальность при угле 45 градусов, уже неприменима. Но является ли это аргументом в пользу того, что 45 градусов не является оптимальным углом запуска для объекта, запущенного над землей и приземлившегося на землю?

Угол, обеспечивающий наибольшую$R$останки$45^{\circ}$. Но запускали под таким углом с возвышения($y>0$) стартовая позиция реально увеличивается$R$несколько, что касается запуска из$y=0$.

Поэтому, если вы хотите поразить ту же цель с возвышенной позиции запуска, вам придется отрегулировать угол или начальную скорость.

Полуматематически мы можем показать, что пройденное расстояние по горизонтали определяется следующим образом.

Время нахождения в воздухе по делу$y=0$является:

А поскольку вертикальная и горизонтальная скорости не зависят друг от друга (галилеевская инвариантность), расстояние, пройденное по горизонтали, равно:

Но в случае, если$y>0$тогда время$t_1$провел в воздухе дольше и так: