Направление скорости тела может изменяться, если его ускорение постоянно. Как это возможно, если ускорение является векторной величиной?

Движение снаряда — это движение с постоянным ускорением. Снаряды движутся по параболической траектории, где и величина, и направление скорости постоянно меняются, но величина и направление ускорения не меняются. Учебник правильный.

Это возможно. Предположим, что тело движется положительно$x$направление с постоянной скоростью$v_x$. Мы обеспечиваем постоянное ускорение в$y$направление равно$a$. Через некоторое время$t$, скорость тела будет$v = v_x \hat{x} +at\hat{y}$. Направление изменилось на$\theta = \tan^{-1}\frac{at}{v_x}$. Это происходит во многих случаях, и один из примеров, с которым вы должны быть знакомы, — это движение снаряда, когда постоянное ускорение$g$меняет направление движения проецируемого тела.

Вам нужно переменное ускорение (с постоянной величиной), чтобы поддерживать равномерное круговое движение, как центростремительное$\vec a$должен оставаться перпендикулярным касательной$\vec v$во все мгновения. Но для тела, движущегося с произвольной скоростью$\vec v = v_0 \hat i + v_1\hat j + v_2\hat k$, любое постоянное, отличное от нуля ускорение, не направленное в направлении$\vec v$ необходимо изменить компонент$\vec v$вдоль$\hat i$,$\hat j$или$\hat k$. Вот что значит ускоряться, изменять скорость. Мы просто делаем это в другом направлении, чем$\vec v$.

Кроме того, если вы смущены этим,$\vec v$зависит от направления$\vec a$, но$\vec a$всегда может существовать на теле без какого-либо влияния его скорости. Равномерное круговое движение или, вернее, любое движение по замкнутому контуру, как эллиптическое движение планет, требует$\vec a$иметь зависимость от$\vec v$, как и в любом движении по петле, мы должны сначала двигаться в одном направлении, пока не достигнем точки максимума, а затем ускорить$\vec v$двигаться в другом направлении, до точки минимума, после которой нам снова нужно ускориться в другом направлении.

Поскольку каждая точка траектории соответствует определенному направлению движения$\vec v$, мы можем ясно видеть, как$\vec a$зависит от того, каким путем$\vec v$указывает.

Объект может иметь изменяющееся направление скорости, и это по-прежнему называется ускорением, но само ускорение не должно изменяться (постоянное ускорение означает, что его величина и направление остаются неизменными).

Рассмотрим объект, движущийся как снаряд по поверхности земли.

Попробуем разобраться на примере:

Первоначально, если бы тело имело определенную скорость в положительном направлении x и ускорение в отрицательном направлении x, то с течением времени скорость тела продолжала бы уменьшаться. В конце концов она станет равной нулю, за которой следует скорость в отрицательном направлении x. Таким образом, направление его скорости менялось, а ускорение все время оставалось постоянным.

Возможно, самый простой способ увидеть это — представить тело, скорость которого изначально направлена ​​в направлении оси y, V _y . Если затем на тело действует постоянная сила в направлении х, оно будет приобретать все возрастающую составляющую скорости V _х в этом направлении. В результате того, что V _y остается фиксированным, а V _x постоянно изменяется, скорость тела V будет постоянно менять направление, все больше и больше приближаясь к направлению x.

Вы не можете достичь кругового движения с постоянным ускорением, так как направление ускорения должно постоянно меняться, чтобы оставаться направленным в центр, когда тело движется по окружности.

Не похож ли этот случай на равномерное круговое движение? Если нет, пожалуйста, объясните.

Не полностью, нет. Ситуация с равномерным круговым движением на самом деле немного сложнее; это более простой случай.

Как это возможно, если ускорение тоже должно измениться (не постоянным, а стать переменным), если изменится направление скорости тела, если при равномерном движении по окружности тело испытывает переменное ускорение при изменении направления тела и, следовательно, не постоянное ускорение?

Я думаю, вас смущает то, что вы думаете об ускорении как о внутреннем свойстве, векторе, связанном с телом. Но ускорение обеспечивается внешними силами. При равномерном круговом движении направление ускорения меняется не потому, что меняется направление/скорость тела, а потому, что меняется положение тела по отношению к источнику силы.

Но это просто дополнительная сложность. Изменение направления скорости не вызвано ^* изменением ускорения, а является следствием того факта, что ускорение имеет составляющую, перпендикулярную скорости (она не направлена ​​в том же направлении).

^* Обратите внимание, что я говорю о том, что вызывает что; есть, конечно, корреляция между скоростью и ускорением в обоих направлениях, но я думаю, что ваша путаница отчасти является следствием неверного истолкования причинно-следственной связи.

Любое ненулевое ускорение по своей природе будет влиять на скорость объекта, «просто существуя» (ускорение не должно «делать» ничего дополнительного). Ускорение кодирует изменение скорости; единица измерения для него$m/s^2$, что является просто другим способом записи:

Как вы знаете,$m/s$является единицей скорости, поэтому вектор ускорения кодирует, насколько вектор скорости изменится через одну секунду и в каком направлении, предполагая постоянное ускорение . Он воспроизводит$\Delta\vec{v}$вектор, который вы можете векторно добавить к текущему вектору скорости$\vec{v}$чтобы получить новый вектор скорости$\vec{v}_1 = \vec{v} + \Delta\vec{v}$. Или за произвольный период времени,$\Delta\vec{v} = \Delta t \vec{a}$и$\vec{v}_1 = \vec{v} + \Delta t \vec{a}$.
(Вы часто просто пишете это как$\vec{v}_1 = \vec{v} + t \vec{a}$, принимая$t_0$быть нулевым.)

Например, на этом изображении через некоторое выбранное время$t$, скорость изменяется от начального значения$\vec{v}_i$к финалу$\vec{v}_f$(вправо, по траектории). Вычитание$\vec{v}_f - \vec{v}_i$дает вам изменение скорости$\Delta\vec{v}$. Снова предполагая постоянное ускорение ^** , разделив$\Delta\vec{v}/t$(где$t$это промежуток времени) дает вам своего рода «стандартизированное» изменение скорости — то, которое происходит за одну секунду — то, что мы называем ускорением. Затем вы можете масштабировать (умножить) это на время, чтобы получить изменение скорости для любого$\Delta t$(даже в обратном порядке). Так в течение некоторого промежутка времени$t$, изменение$\Delta\vec{v} = t\vec{a}$и,$\vec{v}_f = \vec{v}_i + \Delta \vec{v}$.

^** Это просто изображение, которое я нашел в Интернете; траектория при постоянном ускорении не будет выглядеть так (она не будет изгибаться на другом конце, как показано, вместо этого она будет параболой). Но давайте пока проигнорируем это.

Итак, вы видите, направление меняется, потому что, применяя ускорение, вы на самом деле векторно добавляете к начальной скорости$\Delta \vec{v}$это не имеет того же направления, что и оно, что заставляет его поворачиваться.

Математика с переменным ускорением сложнее и включает в себя интегрирование, но основная идея и основная логика остаются теми же. Для меняющегося ускорения вас интересует мгновенное значение ускорения, к которому вы можете приближаться все ближе и ближе, рассматривая все меньше и меньше$\Delta t$; для крошечных$\Delta t$, изменение скорости практически очень просто (технический термин линейный), как если бы ускорение было постоянным в течение этого небольшого периода времени, поэтому вы можете применить тот же прием «стандартизации» изменения скорости (что дает вам значение для ускорения, которое является пределом среднего ускорения как$\Delta t \to 0$, и в противном случае заставляет математику работать).