QM и перенормировка (неспециалист)

Лучший способ объяснить перенормировку — это рассмотреть то, что на первый взгляд выглядит как полный обход: фрактальную геометрию Мандельброта. Геометрия Мандельброта, разработанная в 1960-х и 1970-х годах, является ключевой идеей крупных достижений статистической физики в начале 1970-х годов, пионером которой был Лео Каданов (в основном независимо), но она также связана с Александром Поляковым, Майклом Фишером, Кеннетом Уилсоном и многими другими учеными. 1970-х и 1980-х годов, опираясь на классические работы Фенимана и Онзагера, и эти идеи придают теории перенормировки ее современную форму.

Основную идею можно сформулировать одним предложением: перенормировка — это анализ математических объектов, фрактальные размерности которых на малых расстояниях либо отличаются от ожидаемых из-за нелинейных взаимодействий, либо изначально отличаются от ожидаемых, так что наивное масштабирование модифицируется. по логарифмам.

Она действительно относится к чистой математике, но почти полностью была разработана в рамках физики, за исключением Мандельброта.

Законы власти

если величина x зависит от величины y таким образом, что масштабирование y может быть компенсировано масштабированием x, то x и y связаны степенным законом.

$$x = C y^\alpha$$

Где С,$\alpha$являются константами. Степенные законы важны, потому что они не зависят от масштаба, а это означает, что как только вы выбираете масштаб для y, масштаб для x определяется путем установки коэффициента степенного закона равным 1, но нет ни абсолютной шкалы, ни абсолютных единиц для y. . Лучше всего это иллюстрируется примерами.

Предположим, у вас есть маятник длиной L и груз, качающийся на конце. Период маятника

$$T = 2\pi \sqrt{L\over g}$$

Форма этого соотношения не дает никакой информации о каких-либо масштабах атомных длин. Какие бы единицы измерения вы ни выбрали для L, вы можете найти подходящие единицы для T, изменив масштаб, чтобы сделать коэффициент отношения равным 1.

С другой стороны, предположим, что вы смотрите на приблизительную плотность атмосферы при подъеме на высоту y:

$$\rho(y) = C e^{- Ay}$$

Зависимость является экспоненциальной, поэтому она определяет масштаб длины 1/A. Эта шкала длины связана степенным законом с другими параметрами, такими как плотность и ускорение свободного падения, так что это не атомная шкала длины, а эмерджентная.

Разницу между степенными законами и другими отношениями можно понять из анализа размерностей. Коэффициент степенного закона смешивает единицы x и единицы y, поэтому он позволяет одновременно изменять масштаб обоих путем компенсации сумм. Коэффициенты в произвольном отношении выбирают масштаб для изменения, поэтому они не являются масштабно-инвариантными.

Ограничения масштабирования

Когда y имеет крошечную шкалу дискретности, например длину провода, исчисляемую числом атомов, вы ожидаете, что при больших числах поведение p не будет зависеть от лежащей в основе дискретности. Так что измерение зависимости периода маятника от длины будет бесполезно для выяснения того, насколько велики атомы.

Чтобы это было правдой, информация в y должна достичь предела масштабирования, зависимость x от y должна быть независимой от масштаба зерен на коротких расстояниях, который определяет континуум.

Вот несколько тривиальных примеров: пусть$\epsilon$— атомный размер, а параметр y — целое число, кратное атомному масштабу:

$$y = n \epsilon$$

Если x является функцией y, которая подчиняется закону

$$x(y+\epsilon) = x(y) + \epsilon y$$

Тогда для малого$\epsilon$, ты понял$x(y) = {y^2\over 2}$, и это стандартное исчисление. Если x подчиняется закону

$$x(y+\epsilon) = x(y) + \epsilon x(y)$$

Тогда для малого$\epsilon$, ты ищешь$x(y) = Ce^y$. В обоих случаях изменение в$x$в каждом$\epsilon$шаг определяется изменением y, и размер шага становится неактуальным при таком масштабировании.

Но предположим, что вы извращены и решили масштабировать x-шаги по-другому.

$$x(y+\epsilon) = x(y) + \epsilon^2 x(y)$$

Тогда как$\epsilon\rightarrow 0$, вы получаете константу x! Величина x перестает изменяться при стремлении параметра дискретности к нулю. Вам нужна только правильная мощность на$\epsilon$чтобы получить нетривиальную связь между x и y. Если вы выбрали неправильную силу по-другому

$$x(y+\epsilon) = x(y) + \epsilon^{.5} x(y)$$

Тогда x взорвется при любом конечном значении y как$\epsilon\rightarrow 0$. Только один показатель, а именно тривиальный показатель 1, дает правильный континуальный предел.

Это классические исчисления примеры микроскопического масштабирования. Первый нетривиальный пример — когда x(y) представляет собой сумму случайной величины,$\eta(y)$, которое является случайным числом от -1 до 1 в каждой дискретной позиции. Тогда вы хотите взять предел$\epsilon\rightarrow 0$суммы случайных чисел, чтобы получить непрерывную версию случайного блуждания. Вы пытаетесь выполнить исчисление:

$$x(y+\epsilon) = x(y) + \epsilon \eta(y)$$

Но этот выбор сходится к константе x в пределе малых эпсилон. Причина в том, что сумма N случайных вещей растет только по мере того, как$\sqrt{N}$, в то время как$\epsilon$член подавляет его на 1/N. Итак, чтобы исправить это, вам нужен другой степенной закон для$\epsilon$

$$x(y+ \epsilon) = x(y) + \epsilon^{1/2} \eta(y)$$

Это определяет предел стохастического исчисления. Существует целая область математики, исчисление Ито, которая изучает только этот закон масштабирования для континуального предела. Это важно в таких областях, как финансы, где случайные блуждания возникают повсюду, поскольку любая цена товара на эффективном рынке с ограниченными колебаниями должна быть случайным блужданием.

Поэтому, когда у вас есть дискретная система, такая как компьютерная симуляция, делающая дискретные шаги во времени, вы можете найти сходящийся непрерывный предел малых шагов, но только если вы выберете соответствующий закон масштабирования для изменяющихся величин. Закон подобия для флуктуирующих величин отличается от закона подобия для плавно меняющихся величин.

Для гладких величин$\delta x$масштабируется линейно в$\delta y$, или же$\epsilon$, и это единственный случай, изучаемый в обычном исчислении. Стохастическое исчисление Ито делает$\delta x$масштабируется как квадратный корень из$\delta y$, или как$\sqrt{\epsilon}$. Советником Мандельброта был Пол Леви, который разработал теорию полетов Леви или случайных блужданий со степенным распределением шагов, так что существует некоторая вероятность больших шагов, которая не исчезает, когда вы берете предел масштабирования. В полетах Леви предел континуума получается путем масштабирования$\delta x$в качестве$\epsilon^\alpha$куда$\alpha$является непрерывным регулируемым параметром.

Это означает, что у Мандельброта была важная новая точка зрения — он понял, что в природных явлениях, где континуум всегда возникает на больших расстояниях как приближение к чему-то маленькому и зернистому, законы масштабирования не должны ограничиваться целыми степенями или даже рациональные способности. У вас могут быть произвольные законы масштабирования, которые определяют разные пределы континуума. Это поведение определило бы закономерности колебаний, которые вы видите в природе, такие как грубая форма береговой линии или зубчатые формы гор.

Эти идеи развиты Мандельбротом в «Фрактальной геометрии природы» в доступной для всех форме, поскольку не предполагают каких-либо глубоких предварительных знаний по математике.

Фрактальное геометрическое масштабирование

Рассмотрим фрактальную форму, возьмем для определенности кривую Коха. Если вы рассчитываете длину кривой, вам нужно указать длину линейки, относительно которой вы рассчитываете длину. По мере того, как линейка становится маленькой, общая длина кривой стремится к бесконечности как степень,$1/l^d$где d — фрактальная размерность кривой.

Смысл этого неясен — форма неправильная на малых расстояниях, так что понятие длины неприменимо, и обычные законы масштабирования длины для дифференцируемых кривых, что число копий линейки длины l, которая кривая расходится как$L/l$нарушается, и нарушение закона находится в показателе.

Когда у вас есть микроскопически фрактальные формы, законы масштабирования, которые вы интуитивно ожидаете на примере дифференцируемых форм, изменяются, и величины, которые изначально были конечными, например длина, становятся бесконечными. Далее, процесс определения формы фрактала удобнее всего выразить с помощью того, что в физике называется регулятором --- используя фиктивную конечную длину l, являющуюся длиной линейки для измерения формы, и глядя на величины, которые стабильны в Лимит$l\rightarrow 0$.

Таким образом, длина кривой Коха не имеет смысла, она бесконечна, но коэффициент нарушения степенного закона, связывающего длину с l, конечен и является мерой Хаусдорфа кривой Коха, аналогичной понятие длины фрактальной кривой.

Фрактальные флуктуации при фазовых переходах

Рассмотрим статистическую флуктуирующую величину, например плотность жидкости в тепловом равновесии. Для обычных температур существуют флуктуации на атомном уровне, и эти флуктуации усредняются на макроскопическом уровне, так что жидкость выглядит однородной.

Но когда вы настраиваете давление и температуру на критическую точку жидкость/газ, флуктуации становятся коррелированными, так что большие макроскопические куски газожидкостного гибрида имеют более высокую плотность в одних областях, в то время как они имеют низкую плотность в других областях. Это очевидно экспериментально, потому что прозрачная жидкость в критической точке становится молочно-белой, потому что флуктуации плотности в масштабе длины волны света теперь значительны.

Чтобы описать эту систему, вам нужна средняя плотность по многим объемам атомного размера как функция положения. Задайте функцию плотности на большом расстоянии$\phi(x)$быть средней плотностью жидкости в каждой точке ящика длиной$l$. Вы можете создать решетку размером l, и существует статистический закон, который говорит вам, насколько вероятно, что плотность будет иметь заданное значение, учитывая плотность в соседних позициях. Статистический закон принимает форму распределения вероятностей плотности в узле x при заданной плотности в соседних узлах y.

Закон плотности может быть выражен математически следующим образом:

$$-\log(\rho(x)) = \sum_{<y,x>} (\phi(x)-\phi(y))^2 + V(\phi)$$

Это имеет простой смысл: плотность в точке имеет среднее значение, которое определяется значением соседей, с общим притяжением к некоторому предпочтительному значению, описываемому формулой$V(\phi)$. Форма$V$можно принять за многочлен (это объясняется позже)

$$V(\phi) = a \phi^2 + b\phi^4$$

где параметр b должен быть положительным. Настраивая параметр а, можно достичь точки, в которой флуктуации появляются на всех масштабах длины, и в этой точке решетку можно сделать сколь угодно малой, и вы найдете континуальный предел, если масштабировать$\phi$соответственно.

Лимит$\epsilon\rightarrow 0$,$\phi\rightarrow \epsilon^{\alpha} \phi$можно взять так, чтобы флуктуации стали независимыми от решетки. Параметр$\alpha$фрактальная размерность$\phi$. За$V=0$, фрактальная размерность поля зависит только от размерности и имеет одно значение. Но для фактической формы V фрактальная размерность отличается от наивного значения.

Квантовая теория поля — это то же самое.

Квантовые поля определяются путевым интегралом Фейнмана по значениям поля. Их также можно понимать как описание флуктуаций частиц, но здесь лучше всего подходит полевая картина.

Интеграл Фейнмана по траекториям говорит о том, что необходимо учитывать все возможные флуктуации квантового поля между начальным и конечным временем, чтобы описать амплитуду квантовой вероятности перехода от одного момента времени к другому. Это фундаментальная формулировка квантовой механики в лагранжевом подходе Фейнмана.

Но существует простая математическая связь между квантово-механическими интегралами Фейнмана по траекториям (по крайней мере, для бозонных полей) и статистическими распределениями. Они связаны формальным методом, называемым вращением Вика, или формулировкой мнимого времени.

Витковое вращение обычной квантовой механики — это исчисление броуновских траекторий Ито. Виковское вращение теории поля превращает каждую теорию поля (бозонного реального действия) в статистическую систему, законы масштабирования которой имеют фрактальные (или аномальные) размерности. Фрактальные размерности означают, что типичное поле в распределении выглядит одинаково после масштабирования пространства на L и поля на степень L.

Логарифмы перенормировки

В реалистичных квантовых теориях поля в четырехмерном пространстве-времени фактические законы масштабирования изменяются только логарифмами. Эти логарифмы являются признаком зарождающегося изменения показателя степени. Причина в том, что в 4-х измерениях два случайных блуждания лишь незначительно пересекаются, если вы посмотрите на два случайных блуждания по решетке, начиная с двух позиций на фиксированном расстоянии друг от друга, вероятность того, что они столкнутся, стремится к нулю как логарифм шага решетки.

Логарифм - это просто предел показателя степени для малых значений показателя степени. Если вы посмотрите на степенной закон с немного другим показателем степени

$$x = y^{\alpha + \epsilon} = y^{\alpha} y^\epsilon = y^\alpha e^{\epsilon \log y} = y^{\alpha} (1 + \epsilon \log y + {\epsilon^2\over 2} \log^2 y + ...)$$

Первоначальная масштабная инвариантность степенного отношения кажется нарушенной логарифмами, но она просто изменена. Если вы масштабируете y на количество$A$, вы масштабируете$x$по$A^{\alpha+\epsilon}$, который дает$\epsilon$изменения размера$x$.

Таким образом, величины в четырехмерной квантовой теории поля имеют бесконечно малые размеры на бесконечно малых расстояниях, где шкала длины, связанная с массой частиц, больше не видна. Эти логарифмические поправки к масштабированию делают четырехмерную теорию как математически более простой, так и концептуально более сложной, потому что новые законы фрактального масштабирования не так очевидны.

В трех измерениях скалярные теории поля просто приобретают аномальные размеры. Один из наиболее интересных способов вычисления фрактальных размерностей — использовать известные логарифмы в 4-х измерениях, чтобы найти зависимость фрактальной размерности от размерности пространства, и это дает предсказания для флюидно-критического масштабирования, которые соответствуют экспериментальным данным и компьютерным данным. симуляции очень точно.

На самом деле нет необходимости рассматривать частицы как точки. Если представить частицу как «облако», то бесконечностей нет ни в классической, ни в квантовой теориях.

Например, когда физики строят квантово-механическую модель атома водорода, они рассматривают электрон как облако отрицательного заряда, смазанное вокруг протона. Числовые величины, полученные с помощью этой модели, очень хорошо согласуются с экспериментом.

Но многие современные физики используют модели, в которых частицы считаются точечными. Тому есть как минимум две причины.

Первая причина заключается в том, что если кто-то хочет использовать модель, в которой частица не является точечной, ему или ей необходимо определить структуру частицы. Но никто не знает внутреннюю структуру частиц, поэтому они не могут определить ее для использования в модели. Обратите внимание, что в предыдущем примере с атомом водорода физики имели дело с атомом, а не с частицей. Физики смогли разработать такую ​​модель, потому что они знали кое-что о внутренней структуре атома (т.е. они знали, что положительно заряженный протон находится в центре атома, электрон размазан вокруг протона, было известно электрическое поле протона и т.д.). Мы не можем сделать то же самое с частицей, потому что почти ничего не знаем о том, что находится внутри частицы.

Вторая причина заключается в следующем: есть модель, которая очень хорошо работает для столкновений частиц при высоких энергиях. Эта модель используется, например, для коллайдеров частиц, таких как LHC. Расстояние, пройденное частицей в таком коллайдере, очень велико по сравнению с размером (если он есть), который может быть связан с самой частицей. Так что логично рассматривать в этой модели частицы как точечные объекты, ведь размер самой частицы ПОЧТИ не играет роли.

Я написал «ПОЧТИ», потому что это играет роль, когда кто-то пытается применить модель не к множеству очень быстрых частиц, сталкивающихся при очень высоких энергиях, а к САМОЙ частице. Например, покоящаяся частица не проходит большое расстояние, и ее полная энергия ненамного превышает ее собственную энергию (которая равна$E=mc^2$как вы, наверное, знаете). В этом случае нет оснований рассматривать частицу как точечный объект, и модель не дает осмысленных результатов.

Так откуда берутся бесконечности? Они исходят из гипотезы о точечности частиц и появляются как в классической, так и в квантовой теориях. Подробности смотрите в том, что об этом писал Владимир.

И последнее, что касается вашего вопроса: что такое перенормировка?

Перенормировка заключается в следующем:

1. на первом шаге частица НЕ рассматривается как точечный объект. Физики говорят, что он имеет размер$\lambda$и выполнить все расчеты для этого «значительного» объекта. Разумеется, никаких бесконечностей не появляется.

2. на втором этапе физики выделяют те члены, которые зависят от$\lambda$("размер" частицы) из тех слагаемых, которые не зависят от$\lambda$.

3. Условия, не зависящие от$\lambda$имеют самостоятельный физический смысл и подходят для описания некоторых (но не всех!) свойств частиц. Они точно рассчитаны.

4. на следующем шаге размер частицы становится все меньше и меньше, т.е.$\lambda$приближается к нулю. Те термины, которые зависят от$\lambda$расходятся, т.е. когда вы приближаетесь$\lambda$до нуля они растут до бесконечности. Правда в том, что эти термины ни для чего не используются, их просто опускают. Итак, цель процедуры перенормировки состоит в том, чтобы отделить конечные члены от уравнений и избавиться от других расходящихся членов.

Итак, с помощью перенормировки мы можем сделать модель «свободной» от расходимостей, но все же не можем использовать ее для вычисления некоторых важных свойств частиц. Например, нельзя рассчитать массу и электрический заряд частицы, поскольку модель не дает нам критериев для идентификации этих величин. Более того, частицы, которые, как известно, имеют разные массы (например, электрон и мюон), в рамках этой модели неразличимы.

Идеализация точечных частиц, приводящая к бесконечности, устраняется введением в задачу небольшого возмущения (отсечка по большой энергии = отсечка по малому расстоянию), которая зависит от масштаба отсечки по энергии$\Lambda$. Таким образом, у нас есть семейство моделей, зависящее от$\Lambda$и исходные параметры модели. Физика должна быть независима от того, где именно применяется отсечка, поскольку не должно иметь значения, насколько мала частица, когда она достаточно мала.

Физика, содержащаяся в модели, не должна зависеть от параметров, которые используются в конкретной модели. Во многих интересных случаях экспериментальные данные могут быть эмпирически описаны с помощью нескольких ключевых физических параметров, таких как основные наблюдаемые массы и заряды. Как правило, они отличаются от массовых и зарядовых коэффициентов, используемых в конкретных моделях. Чтобы различить их в общем контексте, можно обратиться к модельно-зависимым коэффициентам, таким как массы кварков, упомянутые выше, как к затравочным параметрам, а к модельно-независимым параметрам, выбранным для физической параметризации, — измеряемым массам, зарядам и т. д., связанным непосредственно к эксперименту – как перенормированные или одетые параметры.

Цель перенормировки состоит в том, чтобы перепараметрировать$\Lambda$-зависимое семейство гамильтонианов таким образом, что можно подобрать физические параметры устойчивым численным способом, который по существу не зависит от$\Lambda$(когда оно достаточно велико), так что в конце вычислений можно взять предел$\Lambda\rightarrow\infty$без затруднений.

Как это сделать элементарно объясняется в http://arnold-neumaier.at/ms/ren.pdf — самый простой пример — система с 2 состояниями!

Другие, возможно, полезные объяснения (некоторые элементарные, другие менее) можно найти в Главе B5: Расхождения и перенормировка FAQ по теоретической физике .

Да, кулоновский потенциал взаимодействия двух частиц$\propto 1/r$стремится к бесконечности, когда две точечные частицы сближаются,$r$являющееся их относительным расстоянием. Это не вызывает проблем, когда сила отталкивающая, например, при столкновениях частиц, поскольку закон сохранения энергии не позволяет сталкивающимся частицам сближаться слишком близко друг к другу. Это представляет собой проблему, если рассматривать силу притяжения и связанные состояния частиц. В связанных состояниях частицы движутся рядом друг с другом, и, как только они излучают электромагнитные волны, становятся все ближе и ближе. Излучаемая энергия — это разница между двумя положениями, что-то вроде$\Delta E = q_1 q_2 (\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1})$, поэтому он расходится, когда частицы подходят слишком близко друг к другу. Это не соответствует экспериментам с конечным обменом энергией и представляет собой кризис классической электродинамики.

В квантовой механике частицы заменены волнами. Волны в замкнутых системах имеют дискретный спектр собственных (резонансных) частот. Эти частоты определяют энергетический спектр, который становится дискретным в КМ. Существует так называемое основное состояние, в котором движение еще возможно, но энергия достигает своего минимума. Система больше не может отдавать свою энергию, если находится в основном состоянии. Благодаря нетривиальному движению в этом состоянии частицы (если говорить о точечных частицах) не могут постоянно находиться слишком близко друг к другу, поэтому расстояние$r=0$недостижимо как постоянное состояние. Говорят, что вместо траекторий есть «облака». В атомах размер облака намного больше, чем даже собственный размер протона.

Перенормировка фундаментальных констант — это нечто иное и касается модификации («исправления») результатов вычислений в некоторых плохо построенных теориях.