Аномалия в квантовой механике в формулировке интеграла по путям

Если$A$является классической симметрией, возможно, что после квантования$A$уже не симметрия. Один из способов увидеть это в операторной формулировке квантовой механики состоит в следующем.

Позволять$H$и$A$— самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве$\mathcal{H}$. Мы считаем$H$как квантовый гамильтониан и$A$как его симметрия:$A$и$H$коммутируют, что означает, что операторнозначные спектральные меры коммутируют.

Если$\psi \in \mathcal{H}$это государство, то

$$\frac{d}{dt} \langle A(t)\rangle= \frac{d}{dt}\langle \psi(t), A\psi(t)\rangle =\langle -i H \psi(t), A\psi(t)\rangle+ \langle\psi(t), A (-iH)\psi(t)\rangle\\ =i(\langle H \psi(t), A\psi(t)\rangle - \langle\psi(t), A H\psi(t)\rangle). \quad (\ast)$$ Квантовый гамильтониан $H$плотно определен на $\mathcal{H}$с доменом $D(H)$и если $A$не сохраняется $D(H)$первый срок $\langle H \psi(t), A\psi(t)\rangle$не равно $\langle\psi(t), HA\psi(t)\rangle$и $\frac{d}{dt}\langle A(t)\rangle \neq 0$. Другими словами, даже если $H=H^{\dagger}$на $D(H)$это не обязательно так далее $A(\mathcal{H})=\text{range}(A)$.

Мой вопрос в том, как вывести формулу$\ast$используя формулировку интеграла пути? Почему-то тот факт, что мера Фейнмана не инвариантна относительно симметрии$A$должен играть роль в таких вычислениях, но я не понимаю, как это сделать. Если я начну с

$$\int \mathcal Dp(s) \mathcal Dq(s) A(p(t),q(t))e^{iS(p(s),q(s))},$$ с некоторыми граничными условиями на $s=0$и $s=T$и $0<t<T$, возьмем производную $\frac{d}{dt}$Я не понимаю, как я могу получить что-то эквивалентное $H-H^{\dagger}$на $A(\mathcal H)$.