Коммутатор евклидова КТП обращается в нуль для всех пространственно-временных разделений?

Question

Коммутатор евклидова КТП обращается в нуль для всех пространственно-временных разделений?

Физика
причинность
коммутатор
вращение фитиля
зеленые функции
квантовая теория поля

пользователь143410

В пространстве-времени Минковского коммутатор полевого оператора Клейна-Гордона с самим собой в разных точках пространства-времени оценивается опережающей минус запаздывающей функцией Грина классической теории,

\begin{aligned} [ф (Икс), ф (у)] "=" ⟨ 0 | [ф (Икс), ф (у)] | 0 ⟩ "=" г_{А} (Икс - у) - г_{р} (Икс - у), \end{aligned}

$\begin{align} [\phi (x),\phi (y)]=\langle 0|[\phi (x),\phi (y)]|0\rangle =G_A(x-y)-G_R(x-y), \end{align}$ которая обращается в нуль для пространственноподобных разделений. [Я использую соглашение о том, что функции К. Г. Грина определяются

(\partial^{2} + m^{2}) G (x - y) = - i δ^{(4)} (x - y)

$(\partial^2+m^2)G(x-y)=-i\delta^{(4)}(x-y)$ .]

Из-за $SO(4)$ -изометрии евклидова пространства-времени, не существует инвариантного понятия направления времени и, действительно, все разделения пространственноподобны. По этой причине я наивно ожидал бы, что евклидова функция К. Г. Грина (которая обращается в нуль на бесконечности) уникальна, т. е. не существует «опережающих» или «запаздывающих» евклидовых функций Грина, и коммутатор поля должен тогда обращаться в нуль при $all$ Евклидовы пространственно-временные разделения.

Более явно, евклидова двухточечная функция выглядит как

\begin{aligned} ⟨ 0 | ф (Икс) ф (у) | 0 ⟩ "=" \int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п \cdot (Икс - у)}}{п^{2} + м^{2}}, \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|\phi (x)\phi(y) |0\rangle=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}, \end{align}$ поэтому евклидов коммутатор

\begin{aligned} [ф (Икс), ф (у)] "=" \int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} {\frac{е^{я п \cdot (Икс - у)}}{п^{2} + м^{2}} - \frac{е^{- я п \cdot (Икс - у)}}{п^{2} + м^{2}}} "=" 0, \end{aligned}

$\begin{align} [\phi (x),\phi(y)]=\int \frac{d^4p}{(2\pi)^4}\left\{\frac{e^{ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}-\frac{e^{-ip\cdot(x-y)}}{p^2+m^2}\right\}=0, \end{align}$ где последнее равенство следует из того, что мера «объема» импульса инвариантна относительно

p \to - p

$p\to -p$ в евклидовом пространстве-времени.

Верен ли этот вывод и рассуждение?

Дарксайд

Я не уверен, какого ответа вы ожидаете на это, но рассуждение кажется мне правильным, если это имеет значение.

пользователь143410

@Darkseid Извините, если мои намерения были в некотором роде двусмысленными. Я видел явные утверждения о коммутаторе Минковского во многих источниках — и соответствующие дискуссии о причинности, но я не могу найти ссылку, которая дает аналогичную трактовку евклидовой теории. Я был искренне неуверен и пытался понять, что это должно быть.

Ответы (2)

Коммутатор евклидова КТП обращается в нуль для всех пространственно-временных разделений?

Я не уверен, какого ответа вы ожидаете на это, но рассуждение кажется мне правильным, если это имеет значение.
@Darkseid Извините, если мои намерения были в некотором роде двусмысленными. Я видел явные утверждения о коммутаторе Минковского во многих источниках — и соответствующие дискуссии о причинности, но я не могу найти ссылку, которая дает аналогичную трактовку евклидовой теории. Я был искренне неуверен и пытался понять, что это должно быть.

Эдвин Штайнер · Answer 1

Сомневаюсь, что ваши рассуждения проходят без оговорок. Действительно, когда вы аналитически продолжаете двухточечную функцию пространства-времени Минковского на мнимое время, вы получаете функцию (двухточечную функцию Швингера $S(x,y)$ ), который симметричен в двух евклидовых точках пространства-времени и ковариантен по отношению к евклидовым изометриям. Итак, если вы определяете

[ф (Икс), ф (у)] "=" С (Икс, у) - С (у, Икс)

$[\phi (x),\phi(y)]:=S(x,y)-S(y,x)$ для

x

$x$ ,

y

$y$ будучи евклидовыми точками пространства-времени, то у вас есть

[ϕ (x), ϕ (y)] = 0

$[\phi (x),\phi(y)]=0$ .

Однако мне не ясно, можно ли интерпретировать левую часть приведенного выше определения как коммутатор двух четко определенных операторов (или операторнозначных распределений). Например, пусть $\phi$ быть свободным скалярным полем, изначально заданным в пространстве-времени Минковского его разложением по модам

ф (т, Икс) "=" \int \frac{г^{3} к}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ю (к)}} (а (к) е^{- я ю т + я к \cdot Икс} + а^{†} (к) е^{я ю т - я к \cdot Икс}) .

$\phi(t,\mathbf{x})=\int\frac{d^{3}k}{(2\pi)^{3}}\frac{1}{\sqrt{2\omega(\mathbf{k})}}\left(a(\mathbf{k})e^{-i\omega t+i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}+a^{\dagger}(\mathbf{k})e^{i\omega t-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\right).$

Если мы формально продолжим это до $t=-i\tau$ , мы видим, что моды положительной (отрицательной) частоты плохо расходятся при $\tau<0$ ( $\tau>0$ ). (Примечание: это расходящееся поведение мод для мнимых времен также ставит под сомнение ваши манипуляции с интегральным представлением коммутатора.)

Можно еще понять такие выражения, как $\langle 0|\phi (-i\tau_2,\mathbf{x}_2)\phi(-i\tau_1,\mathbf{y}_1) |0\rangle$ пока $\tau_2>\tau_1$ а интегралы по импульсу берутся только в конце. Используя этот формализм, можно приравнять это выражение к интегралу по траекториям в евклидовом пространстве-времени с двумя «операторными вставками»:

⟨ 0 | ф (- я т_{2}, {Икс}_{2}) ф (- я т_{1}, {Икс}_{1}) | 0 ⟩ "=" \frac{\int Д ф опыт (- С_{Е} [ф]) ф ({Икс}_{2}) ф ({Икс}_{1})}{\int Д ф опыт (- С_{Е} [ф])}

$\langle 0|\phi (-i\tau_2,\mathbf{x}_2)\phi(-i\tau_1,\mathbf{x}_1) |0\rangle = \frac{\int \mathcal D \phi \exp{\left(-S_E[\phi]\right)\phi(x_2)\phi(x_1)}}{\int \mathcal D \phi \exp{\left(-S_E[\phi]\right)}}$

Интеграл по путям автоматически обеспечивает упорядочение в мнимом времени, и поэтому мы можем использовать его, чтобы расширить смысл левой части до произвольного $\tau$ -упорядочение, которое дает нам двухточечную функцию Швингера для этого поля, выраженную в виде интеграла по траекториям. Тем не менее, это не означает, что мы поняли смысл оператора поля для ненулевых мнимых времен.

Автоматическое евклидово временное упорядочение интеграла по путям не позволяет нам использовать его для вычисления общих матричных элементов полевого коммутатора для неравных евклидовых времен. Может быть, поэтому в учебниках обычно не встречается расчет этого коммутатора для евклидова пространства-времени. (По крайней мере, я не нашел ни одного в имеющихся у меня текстах.)

Для двумерных конформных теорий поля можно найти вычисления коммутаторов $[T,\phi(y)]$ между полем $\phi$ и сохраняющийся заряд $T$ используя операторное произведение (OPE) в евклидовом пространстве-времени ([1], [2]). Такие коммутаторы могут быть ненулевыми, даже если оператор $T$ строится из поля и его производных. Ваш вывод о том, что коммутатор $[\phi(x), \phi(y)]$ равен нулю в евклидовом пространстве-времени, означало бы также, что все коммутаторы величин, построенные из полей и их производных, равны нулю в евклидовом пространстве-времени, не так ли?

О формальной возможности построения полностью (анти)коммутирующих полевых операторов для евклидова пространства-времени Швингер упомянул в конце работы [3]. Я не уверен, что с этим делать.

Связанный с этим вопрос об операторах поля и двухточечных функциях в евклидовом пространстве-времени обсуждался на mathoverflow: https://mathoverflow.net/q/237647.

[1] К. Беккер, М. Беккер, Дж. Х. Шварц. Теория струн и М-теория: современное введение. Издательство Кембриджского университета, 2007. с. 64ф.

[2] Дж. Полчински. Струнная теория. Том. 1 Введение в бозонную струну. Издательство Кембриджского университета, 1998. с. 55.

[3] J. Schwinger, 1958. Четырехмерная евклидова формулировка квантовой теории поля. Труды конференции: C58-06-30, с.134-140.

пользователь1504 · Answer 2

Да, евклидовы коммутаторы исчезают.

Это довольно очевидно в формализме интеграла по путям: вы можете вычислить матричные элементы коммутатора из корреляционных функций: $\langle \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) ... \rangle = \int \phi(x)\phi(y) ... e^{-S(\phi)}d\phi$ . Интеграл включает только коммутирующие переменные, поэтому вы можете $x$ и $y$ .

Связь между евклидовыми корреляционными функциями и функциями Минковского довольно тонкая. Евклидовы корреляционные функции представляют собой аналитические функции нескольких переменных. $x$ , $y$ , и может быть расширен до комплексификации декартова произведения нескольких копий евклидова пространства. Соответствующие декартовы произведения пространства Минковского также входят в эту комплексификацию. Корреляционные функции Минковского фактически являются граничными значениями аналитического расширения евклидовых корреляционных функций. Но то, какой временной порядок корреляционных функций Минковского вы получите, зависит от того, как вы приближаетесь к границе.

Я не уверен, как формализм интеграла по путям делает это «очевидным» для евклидова случая. Мы знаем, что они не ездят на работу в Минковски во время разлуки, но это не очевидно для меня, основываясь на вашем нынешнем объяснении интеграла пути.
Почему это не очевидно? Евклидов интеграл по путям включает только коммутирующие величины. (Это статистическая теория поля.) Так что вы можете свободно переставлять наблюдаемые. Больше ничего нет.
Интеграл по путям Минковского также включает в себя только коммутирующие величины - поля являются просто функционалами внутри интеграла по путям - и все же поля Минковского НЕ коммутируют во времяподобных разделениях внутри корреляционных функций. Поэтому для меня совершенно не очевидно, как запись самой формулы континуального интеграла помогает увидеть, что евклидовы поля ДЕЙСТВИТЕЛЬНО коммутируют при всех расстояниях. Вы претендуете на то, что должно быть показано.
Я вижу, против чего вы возражаете. Мой ответ заключается в том, что интегралы по путям Минковского на самом деле не существуют так же, как евклидовы, и что формальные манипуляции, которые вы описываете, недействительны. Чтобы определить их, вы должны добавить некоторую дополнительную информацию о регуляризации (например, $+i\epsilon$ рецепт). Эта дополнительная информация о регуляризации кодирует некоммутативность и обычно оказывается эквивалентной указанию того, на какой ветви аналитического расширения евклидовой корреляционной функции вы находитесь.
@user1504 user1504 Я считаю, что было бы очень полезно, если бы вы могли включить в свой ответ, как именно возникает некоммутативность с помощью этого механизма.
@SolenodonParadoxus: на уровне теории возмущений должно быть легко увидеть, что $+i\epsilon$ и $-i\epsilon$ приводит к разным порядкам времени. Это общая история. Для получения подробной информации вам придется поискать в Streater & Wightman.
Позвольте мне также добавить: я довольно раздражен. Я дал правильный ответ в евклидовом случае, о чем и шел вопрос. И меня, по-видимому, минусуют, потому что людей смущает более тонкий случай Минковского.
Вы удовлетворительно ответили на мое предыдущее возражение, которое, как я теперь понимаю, было основано на чрезмерно буквальной интерпретации формулы интеграла по путям Минковского.

Коммутатор евклидова КТП обращается в нуль для всех пространственно-временных разделений?

пользователь143410

Дарксайд

пользователь143410

Ответы (2)

Эдвин Штайнер

пользователь1504

пользователь143410

пользователь1504

пользователь143410

пользователь1504

проф. Леголасов

пользователь1504

пользователь1504

пользователь143410

Функциональная производная для одной и той же функции, выраженная до и после поворота Вика

Аналитическое продолжение функции Грина мнимого времени во временной области

Физическая интерпретация запаздывающих и фейнмановских пропагаторов?

Почему в КТП исчезающий коммутатор обеспечивает причинность?

Причинность и квантовая теория поля [дубликат]

Коммутаторы, измерение и причинность в КТП

Вопрос о причинности и квантовой теории поля из-за неправильного преобразования Лоренца

Следует ли микропричинность из лоренц-инвариантности?

Почему в КТП фермионы должны антикоммутировать, чтобы гарантировать причинность?

Теории с неисчезающими коммутаторами вне светового конуса