Функциональная производная для одной и той же функции, выраженная до и после поворота Вика

В конечном счете, это вопрос условностей, но вот одна линия рассуждений:

1. Существует два типа реальных интеграционных мер$d^nx$: беззнаковый (знаковый), который трансформируется при изменении координат с (без) абсолютным значением$|\cdot|$фактора Якоби соответственно. Мы рассмотрим последнее, так как его можно естественно продолжить до комплексных координат, что необходимо для поворота Вика .

2. Продукт$d^nx~\frac{\delta}{\delta \phi(x)}$остается инвариантным относительно преобразований координат$x\to x^{\prime}$. Таким образом, поскольку интегральный измерительный множитель$d^nx$преобразует с фактором Якоби (без модуля), функциональную производную $\frac{\delta}{\delta \phi(x)}$преобразуется с обратным фактором Якоби.

3. Приведенные выше рассуждения предполагают, что следует назначить$^1$

   $$x^0_E~=~ix^0_M, \qquad d^nx_E~=~i d^nx_M, \qquad \frac{\delta^M}{\delta \phi(x)}~=~i\frac{\delta^E}{\delta \phi(x)}.$$

--

$^1$Имейте в виду, что дополнительные$i$-факторы могут возникать для объектов, которые нетривиально трансформируются при вращении Вика. Например, лагранжева плотность преобразуется как двойная производная по времени:${\cal L}_M~=~i^2{\cal L}_E$.

Ответ на самом деле остается неизменным. Вы по-прежнему берете функциональную производную по той же точке. Если вы вернетесь к определению функциональной производной, такому как в Википедии, вы увидите, что значение имеет именно коэффициент.