Конформное преобразование/масштабирование Вейля — это две разные вещи? Смущенный!

Преобразование Вейля и конформное преобразование — совершенно разные вещи (хотя они часто обсуждаются в схожих контекстах).

Преобразование Вейля вовсе не является преобразованием координат в пространстве или пространстве-времени. Это физическое изменение метрики,$g_{\mu\nu}(x)\to g_{\mu\nu}(x)\cdot \Omega(x)$. Это преобразование, которое изменяет правильные расстояния в каждой точке на коэффициент, и этот фактор может зависеть от места, но не от направления линии, собственное расстояние которой мы измеряем (потому что$\Omega$является скаляром).

Обратите внимание, что преобразование Вейля не является симметрией обычных известных нам законов, таких как атомная физика или Стандартная модель, потому что частицы связаны с предпочтительным масштабом длины, поэтому физика не является масштабно-инвариантной.

С другой стороны, конформные преобразования являются подмножеством преобразований координат. Они включают изометрии — настоящие геометрические «симметрии» — как подмножество. Изометрии - это преобразования координат$x\to x'$которые обладают тем свойством, что метрический тензор выражается как функция$x'$совпадает с метрическим тензором, выраженным как функция$x$. Конформные преобразования — это почти то же самое: нужно только, чтобы эти два тензора были равными функциями с точностью до перемасштабирования Вейля.

Например, если у вас есть метрика на комплексной плоскости,$ds^2=dz^* dz$, то любая голоморфная функция, например$z\to 1/z$, конформно инвариантна, поскольку углы сохраняются. Если вы выберете две бесконечно малые стрелки$dz_1$а также$dz_2$начиная с той же точки$z$и если вы преобразуете все концы стрелок в другое место с помощью преобразования$z\to 1/z$, то угол между конечными стрелками будет одинаковым. Следовательно, метрика с точки зрения$z'=1/z$будет по-прежнему дано

$$ds^2 = dz^* dz = d(1/z^{\prime *}) d (1/z') = \frac{1}{(z^{\prime *}z')^2} dz^{\prime *} dz'$$ что является той же метрикой с точностью до масштабирования Вейля дробью в начале. Вот почему это голоморфное преобразование является конформным, сохраняющим угол. Но конформное преобразование — это преобразование координат, диффеоморфизм. Преобразование Вейля — это нечто иное. Он сохраняет координаты фиксированными, но напрямую изменяет значения некоторых полей, особенно метрического тензора, в каждой точке с помощью скалярного мультипликативного коэффициента.

Конформное преобразование — это преобразование пространства-времени, которое оставляет метрику неизменной вплоть до масштаба и, таким образом, сохраняет углы. Преобразование Вейля активно масштабирует метрику.

Более формально:

Позволять$M, N$два многообразия со внутренними произведениями$g, h$и координаты$x=(x^i), y=(y^j)$соответственно.

Карта$f:M\rightarrow N$называется конформной, если существует функция$\Omega\in\mathcal C^\infty(M)$так, чтобы откат встретился

$$f^*h=\Omega g$$ который читается в координатах $$h_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x)$$ куда $y=f(x)$.

В случае конформных преобразований$M=N$а также$g=h$и поэтому

$$f^*g = \Omega g$$ который читается в координатах $$g_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x)$$ и выглядит как преобразование координат $x\mapsto y$, но является координатным выражением фактического (см. мой другой ответ ).

В случае преобразований Вейля снова имеем$M=N$. Тем не менее, карта будет предоставлена$f=\mathrm{id}_M$уступающий

$$h=\Omega g$$ с тривиальным координатным выражением $$h_{ij}(x)=\Omega(x)g_{ij}(x)$$ что нельзя рассматривать как преобразование координат, так как координаты не меняются.

Конформное преобразование - это активные преобразования координат (диффеоморфизм).$\sigma^a \longrightarrow \sigma'^a=\sigma'^a(\sigma)$которые изменяют метрику в следующем виде:

$$g'_{ab}(\sigma')\equiv\frac{\partial\sigma^c}{\partial\sigma'^a}\frac{\partial\sigma^d}{\partial\sigma'^b}g_{cd}(\sigma)=\Omega(\sigma)g_{ab}(\sigma)$$

Таким образом , конформное преобразование на самом деле является активным преобразованием координат (т. е. диффеоморфизмом), которое масштабирует метрику с помощью коэффициента, зависящего от положения.

С другой стороны, преобразование Вейля не имеет ничего общего с преобразованием координат. Он не действует на координаты, но действует на метрический тензор:

$$\sigma^a\longrightarrow \sigma'^a(\sigma)=\sigma^a \\ g_{ab}(\sigma) \longrightarrow g'_{ab}(\sigma')=g'_{ab}(\sigma)=\Lambda(\sigma)g_{ab}(\sigma)$$

Таким образом , преобразование Вейля — это преобразование, которое действует на метрический тензор, а не на координаты.

Это мой первоначальный ответ, который, к сожалению, упустил основную суть вопроса. Однако, поскольку я потратил некоторое время на его написание, и он действительно отвечает по крайней мере на часть вопроса, я оставлю его как есть.

Это заблуждение практического подхода к дифференциальной геометрии, использующего только координатные выражения, и одна из причин, по которой я предпочитаю абстрактно-геометрический подход.

Предположим для простоты, что наше абстрактное многообразие$M$допускает глобальные системы координат

$$\begin{align} \varphi:M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x^\mu \end{align}$$ а также $$\begin{align} \varphi':M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x'^\mu \end{align}$$ Преобразование координат из незаштрихованных в заштрихованные координаты определяется выражением $$\begin{align} \varphi'\circ\varphi^{-1}:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto x'^\mu \end{align}$$ Теперь реальное преобразование было бы диффеоморфизмом $$\begin{align} f:M&\rightarrow M \\ p&\mapsto q \end{align}$$ который поставляется с координатным выражением $f^\varphi=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$ $$\begin{align} f^\varphi:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto y^\mu \end{align}$$ куда $x^\mu=\varphi(p)$а также $y^\mu=\varphi(q)$. Несмотря на то $f^\varphi$ похоже на любое другое преобразование координат, мы остаемся в той же самой незаштрихованной системе координат.

Преобразования координат не изменят значение скалярных выражений — например, сокращение метрического тензора с двумя векторами для вычисления их скалярного произведения — по определению законов преобразования для тензоров.

Это не относится к реальным преобразованиям: поскольку мы не меняем системы координат, компоненты метрического тензора не будут трансформироваться и, следовательно, не могут уравновесить изменение координат векторов.

После преобразования координат мы по-прежнему вычисляем одну и ту же величину, как если бы использовали другой набор единиц измерения, тогда как после реального преобразования мы фактически вычисляем другую величину, поскольку оцениваем ее в разных точках многообразия, т. е. перемещаемся в пространстве. пространство-время.

В книге Вальда по общей теории относительности есть приложение (приложение D) о конформных преобразованиях. Первый абзац имеет отношение к вашему вопросу. Однако его терминология отличается от вашей, и под конформными преобразованиями он понимает просто преобразования Вейля.

Метрический тензор (или любой другой тензор), разумеется, никак не изменится при преобразованиях координат. Однако если$M$является многообразием, и$f:M\rightarrow M$если дифференцируемая функция, то для любого ковариантного тензорного поля$T$на$M$мы можем определить соответствующее обратное тензорное поле$f^*T$на$M$(снова см. определение Вальда в приложении C). В частности, если$g$является метрическим тензором, то мы можем определить метрический тензор с обратной связью$f^*g$на$M$. Если$f$является диффеоморфизмом и$g$невырожденный тогда$f^*g$тоже будет невырожденным и будет иметь ту же сигнатуру, что и$g$. Также$f^*g$в целом будет отличаться от$g$, т.е. откат под карту отличается от преобразования координат. (разница чем-то похожа на «пассивное» и «активное» преобразование координат, но эта терминология может быть здесь очень запутанной).

Если$f$есть такой диффеоморфизм, что обратная метрика$f^*g$равно$\Omega g$для некоторой положительной функции$\Omega$, то она называется конформной изометрией. Конформная теория поля по определению является той, группа симметрии которой содержит группу (возможно, только «локальных») конформных изометрий в качестве подгруппы.