Спивак использует свойство в собственном доказательстве?

Я читаю Исчисление Спивака, 4-е издание , и в Главе 1: Основные свойства чисел у меня возникают проблемы с пониманием доказательства одного из этих основных свойств.

Сначала он устанавливает 3 основных свойства:

1. $a + (b + c) = (a + b) + c$
2. $a + 0 = 0 + a = a$
3. $a + (-a) = (-a) + a = 0$

Вот цитирую Спивака:

Свойство P2 должно представлять отличительную характеристику числа$0$, и приятно отметить, что мы уже можем это доказать. Действительно, если число$x$удовлетворяет

$$a+x=a$$ для любого одного числа$a$, затем$x = 0$(и, следовательно, это равенство справедливо и для всех чисел$a$). Доказательство этого утверждения включает не что иное, как вычитание$a$с обеих сторон уравнения, другими словами, добавляя$-a$в обе стороны; как показывает следующее подробное доказательство, для обоснования этой операции необходимо использовать все три свойства P1—P3. $$\begin{equation} \begin{split} &\text{If } \qquad\qquad\qquad\: a+x=a, \\ &\text{then }\qquad(-a)+(a+x)=(-a)+a=0; \\ &\text{hence } \:\:\quad ((-a)+a)+x=0; \\ &\text{hence } \:\:\,\,\qquad\qquad 0+x=0; \\ &\text{hence } \qquad\qquad\qquad\,\, x=0. \ \end{split} \end{equation}$$

Насколько я понял, это доказательство второго свойства, но он прямо заявляет, что второе свойство должно использоваться в доказательстве. Я не понимаю, как это можно оправдать, и мне неприятно расшифровывать логику этого доказательства. Может ли кто-нибудь указать, где я ошибаюсь, потому что я уверен, что это ошибка от моего имени, а не ошибка в учебнике, в что трудно поверить, учитывая множество изданий книги и редкость для автора. калибра Спивака.

Кроме того, не будет ли такое свойство просто рассматриваться как аксиома некоторого набора чисел, такого как более ранние, как узнать, можно ли вообще доказать такое основное свойство?

Я нашел этот актуальный вопрос. Показывает ли данное доказательство, что 0 является уникальной аддитивной идентичностью? , но ответ, кажется, указывает на то, что Спивак не доказывает это, а скорее оговаривает это через P2, что кажется странным, поскольку сам Спивак утверждает, что это доказано.

Заранее извиняюсь, если допустил досадную ошибку/упущение, эта книга дается мне нелегко.