Конкретный равносторонний треугольник с двумя точками в 3D

Question

Конкретный равносторонний треугольник с двумя точками в 3D

МХу

Допустим, у меня есть две точки: $A = (x_0, y_0, z_0)$ и $B = (x_1, y_1, z_1)$ .

Как найти третью точку $C = (x_2, y_2, z_2)$ такой, что:
а) $A$ , $B$ & $C$ образуют равносторонний треугольник
б) значение $z_2$ это самое высокое, что может быть

Большое спасибо за ваше время :)

Я пробовал несколько примеров с заданными точками, формируя нелинейные системы уравнений. $AC$ , $BC$ , $DC$ ( $D$ будучи средней точкой $AB$ ), а затем выполняя некоторые частные производные на этих результатах. Я получил то, что искал для какого-то конкретного примера (где $z_0 = z_1 = 0$ ), но я как бы делаю это бездумно, пока не получу то, что хочу, и это не сработало для меня для более сложных примеров (например, когда $z_0\ne z_1$ ).

Нмасанта

Добро пожаловать в МСЭ. Используйте форматирование MathJax для математических выражений. См. math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…

МХу

спасибо я исправил

г.ков

Что

C

$C$ вы ожидаете получить, когда

z_{0} \neq z_{1}

$z_0\ne z_1$ но

x_{0} = x_{1}

$x_0=x_1$ и

y_{0} = y_{1}

$y_0=y_1$ ? В этом случае

z_{2} = \frac{1}{2} (z_{0} + z_{1})

$z_2=\tfrac12(z_0+z_1)$ , но что насчет

x_{2}

$x_2$ и

y_{2}

$y_2$ ?

МХу

ха-ха да действительно хороший вопрос. В моем сценарии этого на самом деле никогда не произойдет, две точки никогда не будут одинаковыми.

x

$x$ и

y

$y$

МХу

но да, даже если этого не произойдет, если проще включить его, мы могли бы просто сказать, что любое правильное

x_{2}

$x_2$ /

y_{2}

$y_2$ комбинация подойдет

Моти

У вас есть две пересекающиеся сферы - в зависимости от расстояния между A и B. Затем вы можете использовать производные для решения уравнения для максимума z.

Ответы (1)

Конкретный равносторонний треугольник с двумя точками в 3D

Добро пожаловать в МСЭ. Используйте форматирование MathJax для математических выражений. См. math.meta.stackexchange.com/questions/5020/…
Что $C$ вы ожидаете получить, когда $z_0\ne z_1$ но $x_0=x_1$ и $y_0=y_1$ ? В этом случае $z_2=\tfrac12(z_0+z_1)$ , но что насчет $x_2$ и $y_2$ ?
ха-ха да действительно хороший вопрос. В моем сценарии этого на самом деле никогда не произойдет, две точки никогда не будут одинаковыми. $x$ и $y$
но да, даже если этого не произойдет, если проще включить его, мы могли бы просто сказать, что любое правильное $x_2$ / $y_2$ комбинация подойдет
У вас есть две пересекающиеся сферы - в зависимости от расстояния между A и B. Затем вы можете использовать производные для решения уравнения для максимума z.

г.ков · Answer 1

Намекать.

Оставив в стороне частные случаи, пусть $A_z>B_z$ . Рассмотрим точку $D=(x_1,y_1,z_0)$ . $\triangle ADB$ определяет плоскость, в которой находится искомая точка $C$ находился бы. Используйте векторное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{DB}$ вращать $A$ к $60^\circ$ вокруг $B$ .

Редактировать

Например, с точки зрения мощного языка описательной векторной графики Asymptote это было бы просто

triple C=rotate(60,B,B+cross(A-B,D-B))*A;

Не могли бы вы дать мне немного больше информации о том, как привести последнее предложение в действие? Большое спасибо
Извините, что продолжаю, но я совершенно не знаком с этим языком программирования :( Не могли бы вы превратить это в код Python или просто в формулу? Еще раз большое спасибо за всю помощь :)
Используя формулу вращения Родригеса ( en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula ), k будет вектором единичного пересечения (AB, DB), v вектором AB и $\theta$ = 60 градусов?
@MXu: в данном случае это точно $k$ это единица $\vec{AB}\times \vec{DB}$ вектор, $v$ это $\vec{AB}$ вектор и $\theta= 60^\circ$ .
Что ж, большое вам спасибо за все, за помощь мне и, я думаю, многим другим, с нашими проблемами. Моя область исследований сейчас не очень популярна, но вы вдохновили меня попробовать сделать то же самое. Хорошего дня/ночи!
@MXu: Спасибо. На всякий случай: формула вращения Родригеса дает повернутый вектор $\vec{v_{\mathrm{rot}}}$ . Расположение точки $C=B+\vec{v_{\mathrm{rot}}}$ . И если вы собираетесь углубиться в 3D/математику, подумайте о том, чтобы попробовать Asymptoteвместе с TeXLive(если у вас его еще нет).

Конкретный равносторонний треугольник с двумя точками в 3D

МХу

Нмасанта

МХу

г.ков

МХу

МХу

Моти

Ответы (1)

г.ков

МХу

МХу

г.ков

МХу

МХу

г.ков

МХу

г.ков

Найдите угол треугольника большего треугольника, пересекающего его середину.

Образуют ли медианы (или другие чевианы) все треугольники?

Кратчайшее расстояние между двумя заданными линиями (Подсказка)

Вопрос о прямоугольном треугольнике, содержащемся в равностороннем треугольнике.

Зная длины двух высот и одной стороны, найдите площадь треугольника.

Двойной угол в описанном треугольнике

Как быстро увеличивается площадь равностороннего треугольника при данных условиях?

Найдите максимальную площадь прямоугольника, помещенного в прямоугольный треугольник

Назовите обобщение правильного тетраэдра в высшей размерности.