Координаты Ферми для метрики Фридмана Робертсона Уокера

Question

Координаты Ферми для метрики Фридмана Робертсона Уокера

Дева

Я пытаюсь вывести формулу нормальных координат Ферми для Вселенной FRW, приведенную в уравнении. (4) статьи Николиса и др. (2008) :

г с^{2} \approx - [1 - (\dot{ЧАС} + {ЧАС}^{2}) | Икс |^{2}] г т^{2} + [1 - \frac{1}{2} {ЧАС}^{2} | Икс |^{2}] г {Икс}^{2}

$ds^2\approx -[1-(\dot{H}+H^2)|{\bf x}|^2]dt^2+[1-{1\over 2}H^2|{\bf x}|^2]d{\bf x}^2$

Они начинаются с метрики FRW:

г с^{2} "=" - г т^{2} + а^{2} (т) г у^{2}

$ds^2=-d\tau^2+a^2(\tau)d{\bf y}^2$ и выполнить замену координат

т "=" т - \frac{1}{2} ЧАС | Икс |^{2}, у "=" \frac{Икс}{а} [1 + \frac{1}{4} {ЧАС}^{2} | Икс |^{2}],

$\tau=t-{1\over 2}H|{\bf x}|^2, \quad {\bf y}={{\bf x}\over a} [1+{1\over 4}H^2|{\bf x}|^2],$ Чтобы вывести их уравнение (4), я использую формулу метрического преобразования, приведенную в уравнении. (5.69) современной космологии Додельсона :

{\tilde{г}}_{α β} (\tilde{Икс}) \frac{\partial {\tilde{Икс}}^{α}}{\partial {Икс}^{мю}} \frac{\partial {\tilde{Икс}}^{β}}{\partial {Икс}^{ν}} "=" г_{мю ν} (Икс) .

$\tilde{g}_{\alpha\beta}(\tilde{x}){\partial \tilde{x}^\alpha \over \partial x^\mu}{\partial \tilde{x}^\beta \over \partial x^\nu}=g_{\mu\nu}(x).$ Я беру координаты тильды как координаты FRW. Таким образом, для

μ = ν = 1

$\mu=\nu=1$ , У меня есть:

\frac{1}{16} | Икс |^{2} (9 ({Икс}^{1})^{2} + ({Икс}^{2})^{2} + ({Икс}^{3})^{2}) {ЧАС}^{4} + \frac{1}{2} | Икс |^{2} {ЧАС}^{2} + 1 "=" г_{1, 1}

$\frac{1}{16} |{\bf x}|^2 \left(9 (x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right) H^4+\frac{1}{2} |{\bf x}|^2 H^2+1=g_{1,1}$ Затем я беру предел, который

| \vec{x} | H ≪ 1

$|\vec{x}| H\ll 1$ получить

г_{11} \approx 1 + \frac{1}{2} {ЧАС}^{2} | Икс |^{2}

$g_{11}\approx1 + {1\over 2} H^2 |{\bf x}|^2$ что отличается от их результата на знак минус. Любая помощь в объяснении этого несоответствия будет принята с благодарностью.

Обновление: мне удалось получить их результат с помощью пакета Mathematica TensoriaCalc , в котором есть команда изменения координат. Это подтверждает, что Николис и др. правы, и я делаю что-то не так в своих расчетах.

Дева

@igael я не думаю, что у меня когда-либо было

g_{11} \approx 1 - \frac{1}{2} H^{2} x_{1}^{2}

$g_{11}\approx 1-{1\over 2}H^2x_1^2$ .

пользователь46925

@ Дева: я ошибалась, извини. С

z = \frac{x_{1}^{2} H^{2}}{2}, p = | \vec{x} |^{2} H^{2}

$z =\frac{x_1^2 H^2}{2} , p=|\vec{x}|^2 H^2$ , Я получил

g_{11} = \frac{p^{2}}{16} + \frac{p z}{2} + \frac{p}{2} + z^{2} + 1 \approx 1 + \frac{p}{2} + (z^{2} + \frac{p z}{2})

$g_{11} = \frac{p^2}{16}+\frac{p z}{2}+\frac{p}{2}+z^2+1 \approx 1+\frac {p}{2}+(z^2+\frac {p z}{2})$ вместо

\approx 1 + \frac{p}{2}

$\approx 1+\frac{p}{2}$ или

\approx 1 - \frac{p}{2}

$\approx 1-\frac{p}{2}$ . Если это не слишком скучно для вас, не могли бы вы расширить свое приближение?

пользователь46925

@Virgo: mathjax не отображает то же самое в комментариях ... без mathjax: g11 = p²/16 + pz/2 + p/2 + z² + 1 (с последующим правильным рендерингом)

Дева

@igael, я думаю, ты можешь бросить

z^{2}

$z^2$ и

p z

$pz$ термин, как мы предполагаем

x H ≪ 1

$xH\ll1$

пользователь46925

формально это очень маленькое p. В p²/16 + pz/2 + p/2 + z² p² очень мало, pz тоже и z² , я не знаю (не знаю неявного формализма со ссылками

x_{1}

$x_1$ к

| \vec{x}

$|\vec{x}$ ). Извините и спасибо

флиппифанус

Просто взглянув на эти выражения, можно заметить точку над

H

$H$ в первом выражении. Я предполагаю, что обозначение означает производную по времени от

H

$H$ , что поэтому предполагает

H

$H$ имеет временную зависимость. Из 4-го выражения также видно, где это

H

$H$ -точка пришла бы от для

g_{11}

$g_{11}$ компонент. Этот

H

$H$ -dot, похоже, отсутствует в 6-м выражении.

Дева

@flippiefanus Я пытаюсь вывести второй член в правой части первого выражения, а не первый член в правой части.

Ответы (1)

Координаты Ферми для метрики Фридмана Робертсона Уокера

@igael я не думаю, что у меня когда-либо было $g_{11}\approx 1-{1\over 2}H^2x_1^2$ .
@ Дева: я ошибалась, извини. С $z =\frac{x_1^2 H^2}{2} , p=|\vec{x}|^2 H^2$ , Я получил $g_{11} = \frac{p^2}{16}+\frac{p z}{2}+\frac{p}{2}+z^2+1 \approx 1+\frac {p}{2}+(z^2+\frac {p z}{2})$ вместо $\approx 1+\frac{p}{2}$ или $\approx 1-\frac{p}{2}$ . Если это не слишком скучно для вас, не могли бы вы расширить свое приближение?
@Virgo: mathjax не отображает то же самое в комментариях ... без mathjax: g11 = p²/16 + pz/2 + p/2 + z² + 1 (с последующим правильным рендерингом)
@igael, я думаю, ты можешь бросить $z^2$ и $pz$ термин, как мы предполагаем $xH\ll1$
формально это очень маленькое p. В p²/16 + pz/2 + p/2 + z² p² очень мало, pz тоже и z² , я не знаю (не знаю неявного формализма со ссылками $x_1$ к $|\vec{x}$ ). Извините и спасибо
Просто взглянув на эти выражения, можно заметить точку над $H$ в первом выражении. Я предполагаю, что обозначение означает производную по времени от $H$ , что поэтому предполагает $H$ имеет временную зависимость. Из 4-го выражения также видно, где это $H$ -точка пришла бы от для $g_{11}$ компонент. Этот $H$ -dot, похоже, отсутствует в 6-м выражении.
@flippiefanus Я пытаюсь вывести второй член в правой части первого выражения, а не первый член в правой части.

Джон Донн · Answer 1

Есть небольшая тонкость. Как утверждают авторы в статье, в заданном законе преобразования $a$ и $H$ оцениваются в $t$ а не в $\tau$ . Таким образом, формула, которую вы получаете, почти верна, но $a(\tau)$ и $a(t)$ не отменять, так что на самом деле

г_{11} "=" {(\frac{а (т)}{а (т)})}^{2} (1 + \frac{1}{2} {ЧАС}^{2} | Икс |^{2})

$g_{11} = \left(\frac{a(\tau)}{a(t)}\right)^2\left(1+\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2\right)$ Затем, используя приведенный выше закон преобразования,

а (т) "=" а (т - \frac{1}{2} ЧАС | Икс |^{2}) \approx а (т) - \frac{1}{2} ЧАС | Икс |^{2} \dot{а} (т)

$a(\tau)=a\left(t-\frac{1}{2}H|\mathbf x|^2\right)\approx a(t)-\frac{1}{2}H|\mathbf x|^2 \dot a(t)$ Поэтому

г_{11} "=" {(1 - \frac{1}{2} {ЧАС}^{2} | Икс |^{2})}^{2} (1 + \frac{1}{2} {ЧАС}^{2} | Икс |^{2}) \approx 1 - \frac{1}{2} {ЧАС}^{2} | Икс |^{2}

$g_{11} = \left(1-\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2 \right)^2\left(1+\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2\right)\approx 1-\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2$

Координаты Ферми для метрики Фридмана Робертсона Уокера

Дева

Дева

пользователь46925

пользователь46925

Дева

пользователь46925

флиппифанус

Дева

Ответы (1)

Джон Донн

Путаница с метрикой Фридмана-Робертсона-Уокера (FRW) и масштабным коэффициентом

Интерпретация нормальных координат

Безмассовая черная дыра Керра

Как получить замедление времени из g00g00g_{00} вообще и из метрики Шварцшильда в частности?

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Разные подписи

Два наблюдателя Робертсона-Уокера, в какое время будет получен световой сигнал?

Почему плоская метрика подразумевает координаты?

Is (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2\ справа)\фи=0 то же, что и ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left(g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \partial_\nu\phi\right)=0?

Каково определение времени в общей теории относительности?