«Корреляционная энергия» с использованием парной корреляционной функции

В этой статье о квантовом эффекте Холла авторы ссылаются на то, что называется корреляционной энергией электронов. Он определен в верхней части страницы 5 как

$E=\frac{n}{2}\int (g(r)-1)V(r)dA\ ,$

где$n$электронная плотность,$g(r)$- парная корреляционная функция,$V(r)$это потенциал и$dA$— это элемент площади (площадь, потому что система двумерная).

Я пытаюсь понять, откуда взялось это выражение, но в поисках «энергии корреляции» все, что я могу найти, связано с приближением Харти-Фока, которое, я думаю, не имеет отношения.

Проверка выражения дает те же результаты, что и другие способы вычисления энергии на частицу с учетом фонового заряда.

У кого-нибудь есть объяснение этому выражению?

РЕДАКТИРОВАТЬ: в ответ на приведенный ниже ответ я немного расскажу об упомянутых «других способах вычисления энергии».

Во-первых, у нас есть взаимодействие между электронами, которое дает следующую энергию на частицу:

$E_{el}=\displaystyle\frac{\langle V\rangle}{N}=\frac{1}{N}\sum_{i<j}^N\int\prod_{k=1}^NdA_k\psi^*V(r_{ij})\psi=\frac{N-1}{2}\int\prod_{k=1}^NdA_k|\psi|^2V(r)\ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

где$\psi(r)=\langle r|\psi\rangle$является волновой функцией, и мы использовали тот факт, что это собственная функция$r$и антисимметричны в электронном обмене.

Здесь удобно упомянуть, что все это происходит на сфере; то есть электроны живут на сферической оболочке, в центре которой находится магнитный монополь Дирака. Я не включил это в исходный пост, потому что не думаю, что это имеет отношение к вопросу о выражении для корреляционной энергии, но это объясняет следующий термин:

Чтобы также включить эффект положительного фонового заряда, мы можем поместить все это в центр. Энергия на электрон, возникающая в результате взаимодействия фонового шанса с электронами и фонового заряда с самим собой, будет тогда:

$E_{bg}=-\frac{N}{2R}\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

где$R$- это радиус сферы (как лучше объясняется, например, в книге Джайна «Составные фермионы»).

Возвращаясь к выражению для корреляционной энергии в исходном посте, отметим, что определение парной корреляционной функции для изотропной системы (так что нам нужна только относительная координата, например$r=r_1-r_2$), является:

$g(r)=\frac{N(N-1)}{n^2}\displaystyle\int\prod_{k=3}^NdA_k|\psi|^2$.

Срок в том числе$g(r)$следовательно является:

$\frac{n}{2}\displaystyle\int dA\ g(r)V(r)=\frac{N-1}{2}\int\prod_{k=1}^NdA_k|\psi|^2V(r)\ ,\ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)$

где мы использовали тот факт, что$g(r)$относится к любому из электронов для введения дополнительного интегрирования, например, по электронному$1$и отменить его вклад с помощью$1/A$, и тот факт, что$g(r)$изотропен, чтобы изменить интегрирование по относительной координате (та, что в исходном интеграле), например, по электрону$2$, принося интегрирование ко всем электронам, а не только к числу$3$к$N$.

Наконец, мы смотрим на последний член исходного выражения:

$-\frac{n}{2}\displaystyle\int dA\ V(r)=-\frac{n}{2}\int_0^R\frac{4\pi r\ dr}{r}=-\frac{N}{2R}.\ \ \ \ \ \ \ (4)$

Мы видим, что (1) соответствует (3), а (2) — (4), так что этот способ вычисления энергии дает тот же ответ, что и «корреляционная энергия». Причина, по которой мне интересно узнать о последнем, заключается в том, что это выражение кажется допустимым в более общих случаях или, по крайней мере, его легче вычислить, чем первый метод выше. Одним из примеров этого является то, когда на втором уровне Ландау и использовании эффективного взаимодействия на первом уровне Ландау, так что$V(r)\neq \frac{1}{r}$и менее понятно, как обращаться с фоновым зарядом.