Кто первым решил классический гармонический осциллятор?

Это было «решено» Гюйгенсом в Horologium Oscillatorum (1673 г.) . Пугающие кавычки здесь потому, что он никогда не записывал уравнение, и даже законы Ньютона еще не были четко сформулированы. Гюйгенс рассматривал движение маятника и для простых случаев знал « закон сохранения живой силы » (механической энергии), как позже назвал его Бернуллис, см. Мах, «История и корень принципа сохранения энергии», с. 30 . Говоря современным языком, это был бы первый интеграл или квадратура соответствующего уравнения движения. При этом он смог вывести формулу периода для движения маятника с малыми амплитудами,$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$в современных обозначениях, которые он также не использовал. Вот из «Акустических истоков гармонического анализа» Дарригола, стр. 351 :

"Первое указание на то, что гармоническое (синусоидальное) движение играет основную роль в акустике, содержится в теории музыкальных струн Христиана Гюйгенса. В своем знаменитом Horologium Oscillatorium 1673 года Гюйгенс показал, что маятниковое движение тела, скользящего по циклоиде, было гармоническим и изохронным. Примерно в то же время он также понял, что сила, ответственная за это движение, пропорциональна расстоянию, пройденному телом от точки равновесия. Вероятно, заметив, что аналогичное обстоятельство имеет место и в случае натянутой невесомой упругой струны, нагруженной одной массой посередине, он вывел частоту колебаний в зависимости от натяжения, длины и массы. Рассуждения подразумевали гармонические колебания нагруженной струны. Он также набросал обобщение на струну, нагруженную несколькими массами,"

Тейлор, изучавший вибрирующие струны в 1713 году, воспользовался преимуществами ньютоновской механики. Тем не менее, он не записал уравнение, а использовал аналогии с маятником и понял, что форма синусоиды была решением для струны. Иоганн Бернулли последовал примеру Тейлора и представил струны как связанные массы. В письме 1727 года своему сыну Даниэлю он явно написал уравнение гармонического осциллятора для каждого из них и проинтегрировал его аналитически.

В печати первой современной трактовкой гармонического осциллятора является De Novo Genere Oscillationum Эйлера (представлено в 1738–1739 гг., опубликовано в 1750 г.) . Он решил в квадратурах не только уравнение свободного осциллятора, но и осциллятора, движимого гармонической силой. Это была первая аналитическая трактовка резонанса, см. Kline, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, v.2, pp. 479-482 :

« Пытаясь рассмотреть вибрирующую струну, Джон Бернулли в письме 1727 г. своему сыну Даниилу и в статье рассматривал невесомую упругую струну, нагруженную$n$равные и одинаково расположенные массы... Джон признал, что сила, действующая на каждую массу, равна$-K$умножить на его перемещение и решить$\frac{d^2x}{dt^2} = - Kx$, таким образом , интегрируя уравнение простого гармонического движения аналитическими методами .

[...] В 1728 году Эйлер начал рассматривать уравнения второго порядка. Его интерес к ним был вызван отчасти его работами в области механики. Он работал, например, над движением маятника в сопротивляющихся средах, что приводит к дифференциальному уравнению второго порядка ... В статье 1739 года Эйлер рассмотрел дифференциальные уравнения гармонического осциллятора$\ddot{x} + Kx = 0$и вынужденные колебания гармонического осциллятора$M\ddot{x} + Kx = F\sin(\omega t)$. Он получил решения квадратурами и открыл (действительно переоткрыл, так как другие открыли его раньше) явление резонанса ».