Квантование электромагнитного поля

Да просто так$F^{\mu\nu}$имеет два индекса, не означает, что она представляет собой частицу со спином 2. Обратите внимание, что метрика$g^{\mu\nu}$представляет собой симметричный двухиндексный объект, а напряженность электромагнитного поля$F^{\mu\nu}$является антисимметричным. На самом деле метрика$g^{\mu\nu}$аналогична потенциалу$A^\mu$в ЭМ, а напряженность поля гравитации представляет собой четырехиндексный тензор Римана$R_{\mu\nu\rho\lambda}$.

Какой спин представляет поле, зависит от симметрии индексов и уравнений поля, которым оно подчиняется. В частности, физические степени свободы безмассового поля спина$(A/2,B/2)$можно записать в терминах пунктирных и непунктирных индексов$G_{\alpha_1,\dots,\alpha_A,\dot\beta_1,\dots,\dot\beta_B}$полностью симметричны по пунктирным и сплошным индексам. Чтобы оно было представлением группы Пуанкаре, оно должно удовлетворять дополнительным условиям

$$\begin{align} \partial^{\gamma\dot\gamma}G_{\alpha_1,\dots,\alpha_{A-1}\gamma,\dot\beta_1,\dots,\dot\beta_B} &= 0 \\ \partial^{\gamma\dot\gamma}G_{\alpha_1,\dots,\alpha_{A},\dot\beta_1,\dots,\dot\beta_{B-1}\dot\gamma} &=0 \ . \end{align}$$ Эти дополнительные условия подразумевают, что каждый компонент $G$удовлетворяет уравнению Клейна-Гордона. (Единственным исключением является скалярный случай, когда нет дополнительных условий, потому что нет индексов. В этом случае есть только уравнение КГ $\Box G = 0$.) Показано также, что из этих условий следует, что поле имеет определенную спиральность $(A-B)/2$и в таком поле имеется только одна степень свободы. Физические поля состоят из суммы двух таких полей противоположной спиральности.

Очевидно, это относится к напряженности электромагнитного поля.$F_{\mu\nu}$при записи в виде$F_{\alpha\beta\dot\alpha\dot\beta}=(\sigma^\mu)_{\alpha\dot\alpha}(\sigma^\nu)_{\beta\dot\beta}F_{\mu\nu}=2\varepsilon_{\alpha\beta}\bar{F}_{\dot\alpha\dot\beta} + 2\varepsilon_{\dot\alpha\dot\beta}F_{\alpha\beta}$, поэтому напряженность поля распадается на сумму двух безмассовых полей, несущих спиральность$\pm1$.

В разделе 1.8 книги « Идеи и методы в суперпространстве и супергравитации » есть хорошее описание полевых представлений группы Пуанкаре . Раздел 1.8.3 касается безмассовых представлений, применимых в двух случаях, поднятых в вашем вопросе. В разделе 1.8.4 приведены примеры безмассового скаляра, спина-1/2, ЭМ (спин-1), спина-3/2 и линеаризованной гравитации (спин-2).

Можно построить свободное квантовое поле на основе ЭМ-поля, а не на основе ЭМ-потенциала, однако, если мы это сделаем, мы не сможем использовать минимальную связь для определения взаимодействия между спинорным полем и ЭМ-полем. Какую бы альтернативную модель ни построили, она должна быть эмпирически очень похожа на КЭД. Я считаю, что это умеренно убийственно, хотя я активно занимаюсь алгебраическими конструкциями в этой общей области.

Для ЭМ поля коммутационные соотношения для операторов рождения и уничтожения можно представить в виде

$$[a_{\mu\alpha}(x),a_{\nu\beta}^\dagger(y)]=\int k_{[\mu}g_{\alpha][\nu}k_{\beta]} 2\pi\delta(k^2)\theta(k_0)e^{-ik\cdot (x-y)}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ антисимметричность на $\mu,\alpha$и $\nu,\beta$компонентов, в отличие от безмассового свободного поля Клейна-Гордона, где отсутствуют индексы пространства-времени, для которых $$[a(x),a^\dagger(y)]=\int 2\pi\delta(k^2)\theta(k_0)e^{-ik\cdot (x-y)}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ Первое уравнение получается, если взять производные от коммутационных соотношений ЭМ-потенциала. Насколько я знаю, в литературе это встречается нечасто, хотя близкое утверждение можно найти в R. Menikoff and DH Sharp, J. Math. физ. 18 (1977) 471.

Обратите внимание, возможно, на большую простоту коммутационных соотношений электромагнитного поля, которые уже являются положительно полуопределенными на пространстве тестовых функций, как указано здесь, без необходимости использования Гупта-Блейлера или другого механизма для обеспечения отсутствия сектора с отрицательной нормой. Возможно, этот подход может быть полезен в квантовой оптике или в другой физике, которая не реализует взаимодействия посредством минимальной связи, однако из-за этого упрощения, опять же, насколько я знаю, я не думаю, что он широко используется. Я был бы несколько удивлен, если бы это часто использовалось, потому что упрощение является скорее концептуальным, чем полезным для вычислений, и всегда есть некоторое давление, чтобы использовать обычные обозначения и формализмы.