Интеграл по траекториям в евклидовой теории поля

Question

Интеграл по траекториям в евклидовой теории поля

ЯмУилл

У меня очень мало опыта в КТП, но я читаю книгу Зальмхофера о перенормировке, и в самом начале книги он обсуждает формулировку интеграла по путям Фейнамна в квантовой механике, чтобы мотивировать использование функциональных интегралов. В КМ интеграл по путям Фейнмана - это способ характеристики ядра $K(t;x,y)$ оператора пропагатора $U(t) = e^{\frac{it}{\hbar}\hat{H}}$ . Это ядро интерпретируется как амплитуда перехода частицы из точки $x$ в $t_{0}=0$ до точки $y$ вовремя $t>0$ . Интеграл Фейнмана по путям, как я здесь описываю, не имеет четкого математического определения; однако, если принять $t \to it$ тогда ассоциированный интеграл по путям корректно определен в терминах мер Винера. Таким образом, иногда предпочтительнее работать с евклидовыми пространствами.

Теперь Зальмхофер заявляет:

«В квантовой теории поля имеют дело не с одной частицей, а с бесконечным множеством частиц, потому что приходится учитывать рождение и уничтожение частиц. Формально можно записать гамильтониан, но становится очень трудно дать математическое определение его. Мы просто определим теорию с помощью функционального интеграла».

Я хотел бы понять это последнее предложение, выделенное жирным шрифтом. В обычном КМ действие (например, для свободной частицы) определяется выражением:

С (т, ф) "=" \int_{0}^{т} [\frac{1}{2} м | ф^{'} (с) |^{2} - В (ф (с))] г с

$S(t,\phi) = \int_{0}^{t}[\frac{1}{2}m|\phi'(s)|^{2}-V(\phi(s))]ds$ Итак, я предполагаю, что действие для поля является некоторым интегралом по отношению к

x

$x$ поля

ϕ = ϕ (x)

$\phi=\phi(x)$ , где

x \in R^{d}

$x \in \mathbb{R}^{d}$ . А вот что непонятно:

(1) Что означает, что функциональный интеграл определяет теорию и

(2) Какова новая интерпретация функционального интеграла? Это тоже амплитуда перехода, но уже для полей?

гс

Я думаю, что они имеют в виду следующее: вы можете подойти к квантовой теории поля через подход канонического квантования через гамильтониан или подход интеграла по путям через действие. Вместо того, чтобы начать с канонического квантования, а затем определить интеграл по путям и продемонстрировать, что эта формулировка эквивалентна каноническому квантованию, они начнут с подхода интеграла по путям и, что более важно, используют интеграл по путям для определения самой квантовой теории поля. Следовательно, они избегают иметь дело с отсутствием математической основы квантовой теории поля и интеграла по траекториям.

гс

Я думаю, важно отметить, что в большинстве квантовых теорий поля интеграл по траекториям не является даже математически четко определенным объектом. На самом деле это даже не интеграл. Таким образом, авторы в основном говорят: «Нас не волнуют все эти математические вещи, мы просто определим всю квантовую теорию поля как заданную этим объектом, который мы называем путевым интегралом», а затем они просто исходят из этого.

оневал

Не могли бы вы расширить «даже не интеграл» и дать несколько ссылок, где это обсуждается?

Ответы (1)

Интеграл по траекториям в евклидовой теории поля

Я думаю, что они имеют в виду следующее: вы можете подойти к квантовой теории поля через подход канонического квантования через гамильтониан или подход интеграла по путям через действие. Вместо того, чтобы начать с канонического квантования, а затем определить интеграл по путям и продемонстрировать, что эта формулировка эквивалентна каноническому квантованию, они начнут с подхода интеграла по путям и, что более важно, используют интеграл по путям для определения самой квантовой теории поля. Следовательно, они избегают иметь дело с отсутствием математической основы квантовой теории поля и интеграла по траекториям.
Я думаю, важно отметить, что в большинстве квантовых теорий поля интеграл по траекториям не является даже математически четко определенным объектом. На самом деле это даже не интеграл. Таким образом, авторы в основном говорят: «Нас не волнуют все эти математические вещи, мы просто определим всю квантовую теорию поля как заданную этим объектом, который мы называем путевым интегралом», а затем они просто исходят из этого.
Не могли бы вы расширить «даже не интеграл» и дать несколько ссылок, где это обсуждается?

Артем Александров · Answer 1

Для развития интуиции рекомендую прочитать первые несколько глав книги А.Зи "Квантовая теория поля в двух словах" и, если вы предпочитаете более строгое изложение, Пескина и Шредера.

(1) Ключевым объектом квантовой теории поля является корреляционная функция. Например, в простейшем случае это объект

⟨ ф (Икс) ф (у) ⟩,

$\langle \phi(x)\phi(y)\rangle,$ где скобки означают усреднение по всем возможным конфигурациям полей. Записывая интеграл по путям в первой строке, вы предлагаете способ вычисления всех этих корреляторов (явное их вычисление — гораздо более тонкий вопрос). Грубо говоря, вся информация теории заключается в ее действии.

S

$S$ . А подход интеграла по траекториям позволяет записать выражения для любого коррелятора в вашей теории (вообще там много скрытых деталей и тонких вопросов)

(2) Да, интеграл по путям — это амплитуда перехода. Например, мы можем рассмотреть процесс в скалярной теории поля $\phi\phi\rightarrow\phi\phi$ , что означает рассеяние двух скаляров. Чтобы найти амплитуду, нужно (грубо говоря, многие подробности опускаю!) вычислить

⟨ ф ({Икс}_{1}) ф ({Икс}_{2}) ф ({Икс}_{3}) ф ({Икс}_{4}) ⟩,

$\langle\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\rangle,$ что означает, что начальные координаты частиц равны

x_{1}

$x_1$ &

x_{2}

$x_2$ , тогда как конечные координаты

x_{3}

$x_3$ &

x_{4}

$x_4$ .

Это не строгий и полный ответ, а просто набросок с рекомендациями. Надеюсь это поможет.

Интеграл по траекториям в евклидовой теории поля

ЯмУилл

гс

гс

оневал

Ответы (1)

Артем Александров

Сколько полей, о которых мы знаем, пронизывают Вселенную?

Квантование электромагнитного поля

Парадокс в выводе континуального интеграла квантовых полей

Неопределенность в формулировке интеграла по путям

В каком смысле интеграл по траекториям является независимой формулировкой квантовой механики/теории поля?

Почему каждое состояние, развивающееся бесконечное время, становится основным состоянием в КТП?

Вычисление ядра с использованием интегралов по путям для квадратичных лагранжианов

Когда справедлива теория возмущений многих тел?

Нульмерная теория поля

Квантовая теория поля: почему на границе поля равны нулю?