Эффект Ааронова-Бома и квантование потоков в сверхпроводниках

Согласно Вигнеру, волновая функция квантовой частицы может быть многозначной, т. е. может приобретать нетривиальную фазу вокруг замкнутого контура. Фаза нетривиальна, если ее нельзя удалить с помощью калибровочного преобразования$e^{i \alpha(\theta)}$, с истинной функцией$\alpha$, т.е.$\alpha(2\pi) = \alpha(0)$. Волновые функции, обладающие этим свойством, являются сечениями нетривиальных линейных расслоений над конфигурационным многообразием.

Причина, по которой волновая функция не обязана быть истинной функцией, заключается в том, что ее общая фаза и величина нефизичны, если определить квантовые ожидания как:

Такие волновые функции возникают, когда конфигурационное многообразие не связано просто с нетривиальной группой когомологий$\mathcal{H}^{1}(M,\mathbb{R})$(Это случай круга). В этом случае на многообразии будут существовать векторные потенциалы, которые не являются градиентами истинной функции на многообразии.$A \ne d\alpha(\theta)$. с,$\alpha(2\pi) =\alpha(0)$. Однако нет необходимости квантовать поток, поскольку волновая функция не обязательно должна быть истинной функцией на конфигурационном многообразии. Наоборот, если бы поток был квантован, то никакого эффекта Ааронова-Бома не наблюдалось бы. Условие квантования возникает, когда$\mathcal{H}^{2}(M,\mathbb{R})$(условие квантования Дирака), но это случай движения частицы по сфере, а не по окружности.

Однако в сверхпроводимости это не так. Разница между двумя ситуациями заключается в том, что «макроскопическая волновая функция» сверхпроводника не является «волновой функцией». т. е. это не координатное представление вектора состояния в гильбертовом пространстве. Это квантовое поле, описывающее голдстоуновские бозоны (куперовскую пару) сверхпроводящей фазы (обычно называемое параметром порядка). Модуль макроскопической волновой функции$\left|\Psi \left( \theta \right) \right|^2$описывает оператор числовой плотности голдстоуновских бозонов. Его две точечные функции описывают (дальнодействующие) корреляции. Это квантовое поле минимально связано с электромагнетизмом, и именно поэтому его уравнение движения похоже на уравнение Шредингера для частицы, связанной с электромагнетизмом. Но основное отличие этого поля в том, что это настоящее скалярное поле, а не сечение линейного расслоения. Это дает нам причину, по которой фаза, которую он приобретает в полном цикле, должна исчезнуть, потому что в противном случае, например, его корреляционные функции зависели бы от того, сколько раз круг был обернут.

Просто добавлю к ответу @Xcheckr, который я считаю наиболее правильным: квантовые поля всегда однозначны. В сверхпроводнике энергетически выгодно минимизировать кинетический член$|D_A\psi|^2$, куда$\psi$– сверхпроводящий параметр порядка.$D_A\psi=0$подразумевает, что фаза$\psi$определяется посредством параллельного переноса путем возведения в степень$iq\int A$, а это вместе с однозначностью$\psi$обеспечивает квантование потока.

Напротив, в настройке эффекта AB нет энергетической причины устанавливать$D_A\psi=0$, и поэтому фаза$\psi(x)$не будет определяться$\exp(iq\int A)$. Это означает, что для некоторого общего значения потока величина$|\psi|$не будет постоянным (например, в какой-то момент пройдет через нуль), отсюда и возникает интерференция в эффекте АБ. В сверхпроводнике$|\psi|$должны быть постоянными по энергетическим причинам, поэтому в СК поток квантуется.

Хотя оба ответа в некотором смысле верны, истинная причина связана с энергетическими соображениями. Это вопрос того, что сильнее, и его можно сформулировать следующим образом: будет ли волновая функция изменяться, чтобы приспособиться к потоку, или поток будет квантоваться, потому что волновая функция пытается оставаться однозначной?

В качестве примера того, что я имею в виду: поток квантуется в сверхпроводящем случае с точностью до точки. Можно наращивать поток внутри сверхпроводящего кольца до тех пор, пока сверхпроводимость не разрушится (даже если само магнитное поле не контактирует со сверхпроводником). Это произойдет исключительно потому, что у сверхпроводящего конденсата не будет достаточно энергии, чтобы сохранить поток квантованным при больших значениях потока.

Именно потому, что сверхпроводник в некотором смысле можно рассматривать как макроскопическую волновую функцию с большой энергией, поток в сверхпроводящем случае квантуется. В случае Ааронова-Бома у нас есть один электрон (или пучок некогерентных электронов), у которого недостаточно энергии, чтобы изменить поток.

Весь эффект Ааронова-Бома — нетривиальная фаза — на самом деле вызван не чем иным, как отклонением от правила квантования потока. Угол, который мы можем измерить как сдвиг интерференционной картины в эффекте Ааронова-Бома, равен

Таким образом, обычное правило квантования потока$\Delta \phi = 2\pi k$за$k\in{\mathbb Z}$что означает не что иное, как «соленоид ведет себя так же, как если бы соленоида не было».

Вот как мы получаем квантование потока в первую очередь. Магнитные монополи, например (важная третья ситуация, которую я добавляю, когда квантование потока заслуживает обсуждения) должны подчиняться правилу квантования Дирака, которое эквивалентно правилу квантования потока для потока через окружающую их поверхность. И именно ей должны подчиняться струна Дирака – полубесконечная линия, начинающаяся с магнитного монополя, где$\vec A$неизбежно сингулярна и должна существовать, потому что${\rm div}\,\vec B\neq 0$больше - быть незаметным. Струна Дирака — это не что иное, как соленоид Ааронова-Бома, однако мы знаем, что он ненаблюдаем, потому что там нет материи, и мы требовали, чтобы расположение струны Дирака было чистой условностью.

Обратите внимание, что между поверхностями выше есть разница. Квантование потока (которое не выполняется) в эффекте Ааронова-Бома подсчитывает поток через открытую область в форме диска; в правиле квантования Дирака это замкнутая поверхность, сфера вокруг монополя. Квантовать нужно только последний поток через замкнутую поверхность.

Теперь в сверхпроводнике электронные пары действуют как бозоны, которые эффективно создают сложное классическое скалярное поле.$\Psi$. Его заряд$2e$потому что он состоит из электронных пар. Теперь значение вакуумного ожидания$|\Psi|^2$ненулевая константа, а фаза$\Psi$является произвольным. В частности, когда вы изучаете, как фаза$\Psi$изменится, если вы обведете границу кольца, вы обнаружите, что оно возвращается к исходной фазе, но может «намотаться вокруг нуля»$w$раз, номер обмотки и это целое число$w$точно измеряет магнитный поток в единицах магнитного потока сверхпроводника (который$1/2$раз меньше минимального магнитного монополя, дуального электрону).

Это условие, что «фаза$\Psi$должен вернуться в себя» математически эквивалентен тому, что мы использовали в дискуссиях о квантовании магнитного монополя и Дирака: его фаза меняется так же сильно, как когда электрон вращался вокруг струны Дирака (или соленоида) в предыдущих двух примерах. Разница заключается в том, что теперь паре электронов нужно позволить мирно окружить кольцо без изменения волновой функции, потому что это все то же состояние.Так что фаза меняется в два раза быстрее, а разрешенная единица потока равна$1/2$того, что было раньше.

В случае сверхпроводника фаза должна вернуться к исходному значению (после того, как электронная пара совершит круговой обход кольца), потому что эта ситуация близка к «струне Дирака». В частности, мы требуем, чтобы не было заметного влияния материала внутри диска просто потому, что внутри кольца нет ничего — нет соленоида и т. д. Так же, как и в случае со струной Дирака, материя внутри кольца должна быть невидимой — ее нет, — а это означает, что волновая функция должна вернуться к своему исходному значению после поворота электронной пары на 360 градусов.

Резюме

Можно было бы просто отбросить эти три ситуации как совершенно разные ситуации, но ключевая математика по-прежнему аналогична в трех ситуациях с некоторыми отличиями:

• струна Дирака или внутренняя часть сверхпроводящего кольца должны вести себя так, как будто ничего не существует, поэтому волновые функции должны возвращаться к себе и, следовательно, налагать правило квантования; важно различать открытую/закрытую топологию поверхностей, над которыми измеряются потоки
• соленоид Ааронова-Бома содержит вещество, поэтому нет веских доказательств того, что соленоид должен быть невидимым для бегущих вокруг него электронов, и действительно, в результате их интерференционная картина может смещаться.
• нужно быть осторожным с различными элементарными зарядами,$e$(или$e/3$если кварки включены) в струне Дирака и/или соленоиде Ааронова-Бома, и$2e$в сверхпроводящем случае