Квантование поля Клейна Гордона: почему это правильный способ выражения поля?

Я читаю книгу по КТП и первым делом занимаюсь квантованием поля Клейна-Гордона. Классическое поле Клейна-Гордона удовлетворяет уравнению в частных производных

( ∂ мю ∂ мю + м 2 ) ф "=" 0 ⟹ ( ∂ т 2 − ∇ 2 + м 2 ) ф "=" 0.

Преобразовав Фурье, получим

( ∂ т 2 + ю п 2 ) ф ^ "=" 0 ,

где сейчас ю п 2 "=" п 2 + м 2 . Другими словами ф ^ ( п , т ) удовлетворяет простому уравнению движения гармонического осциллятора для каждого фиксированного п . В этом случае у нас есть

ф ( Икс , т ) "=" ∫ г 3 п 1 ( 2 π ) 3 ф ^ ( п , т ) е я Икс ⋅ п .

Это нормально, и это все классика. Теперь мы хотим квантовать поле. Как объясняется в книге, квантование поля означает продвижение ф ( Икс , т ) оператору, такому, что

[ ф ( Икс ) , ф ( у ) ] "=" [ π ( Икс ) , π ( у ) ] "=" 0 ,

[ ф ( Икс ) , π ( у ) ] "=" ( 2 π ) 3 дельта ( у − Икс ) .

так же, как мы делаем с позицией Икс и импульс п в квантовой механике.

Теперь для этого автор использует лестничные операторы из квантового гармонического осциллятора. В том случае, если Икс и п есть положение и импульс, лестничные операторы удовлетворяют

Икс "=" 1 2 ю ( а + а † ) , п "=" − я ю 2 ( а − а † ) .

Автор по аналогии с этим, то говорит, что

ф ( Икс ) "=" ∫ г 3 п 1 ( 2 π ) 3 1 2 ю п ( а п е я Икс ⋅ п + а п † е − я Икс ⋅ п )
π ( Икс ) "=" ∫ г 3 п 1 ( 2 π ) 3 ( − я ) ю п 2 ( а п е я Икс ⋅ п − а п † е − я Икс ⋅ п )

Теперь мне это совсем не ясно. Мои основные проблемы:

  1. Во-первых, что приводит к этому расширению квантованного поля ф ? Я имею в виду, я предполагаю, что автор считал ф ^ ( п ) ведет себя как координата гармонического осциллятора, так что мы можем написать ф ^ ( п ) с точки зрения лестничных операторов а п и а п † . Однако, если это будет сделано, мы получим

ф ( Икс ) "=" ∫ г 3 п 1 ( 2 π ) 3 1 2 ю п ( а п + а п † ) е я Икс ⋅ п

На мой взгляд, это была бы аналогия, где мы установили ф ^ ( п ) как положение гармонического осциллятора. Почему мы получаем ( а п е я Икс ⋅ п + а п † е − я Икс ⋅ п ) вместо?

  1. Если проводится эта аналогия, то почему π ^ ( п ) будет импульс гармонического осциллятора? Я не вижу причин для этого непосредственно дифференциальным уравнением.

Ответы (1)

  1. The а п и а п † предполагаются эрмитовыми сопряжениями друг друга как в классическом, так и в квантовом отношении. Применяя комплексное сопряжение к обычному выражению, мы видим, что оно отображает а п е я п Икс к а п † е − я п Икс и наоборот, при условии, что а п † действительно является примыканием к а п , поэтому выражение инвариантно относительно сопряжения, которое требуется в силу того, что рассматриваемое скалярное поле является вещественным, т.е. ф ( Икс ) † "=" ф ( Икс ) . Ваше предложение, с другой стороны, потребует ( а п ) † "=" а − п † - что является возможным выбором для того, как вы определяете коэффициенты Фурье, но довольно запутанно.

  2. π ( п ) является аналогом переменной импульса гармонического осциллятора просто потому, что он выполняет бесконечномерную версию правильного коммутационного соотношения с аналогом переменной положения ф ( п ) . Это не «импульс» гармонического осциллятора — фактический оператор импульса в КТП

    п мю "=" ∫ п мю а п † а п г 3 п ( 2 π ) 3 .

Квантование поля Клейна Гордона: почему это правильный способ выражения поля?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v