Ожидаемое значение вакуума в присутствии источника

Быстрый ответ

Мой вопрос в том, как присутствие ненулевого$J(x)$приводит к нетривиальному пространственно-временному зависимому значению$\langle 0|\phi(x)|0\rangle$?

Уравнение$\phi(x)=\mathrm e^{-iPx}\phi(0)\mathrm e^{iPx}$работает как для$J=0$и$J\neq 0$. Поэтому,

$$\langle \phi(x)\rangle_J= {}_J\langle 0|\mathrm e^{-iPx}\phi(0)\mathrm e^{iPx}|0\rangle_J$$

Что не так, когда$J\neq 0$в том, что$P|0\rangle_J\stackrel{\text{no}}{=}0$(поскольку источник нарушает инвариантность), и поэтому мы не можем заключить, что

$$\langle \phi(x)\rangle_J\stackrel{\text{no}}{=} {}_J\langle 0|\phi(0)|0\rangle_J$$

Следовательно, если$J\neq 0$vev зависит от положения$x$.

Чтобы найти явную зависимость$\langle \phi(x)\rangle_J$с$x$, вместо использования операторов проще работать с интегралами по путям:

$$\langle \phi(x)\rangle_J=\frac{\delta}{\delta J(x)}\exp\left[-i\int \mathrm dy\,\mathrm dz\ J^*(y)\Delta(y-z)J(z)\right]$$ который, как я полагаю, вы можете рассчитать самостоятельно (обратите внимание, что результат пропорционален $J(x)$и поэтому vev стремится к нулю, как $J\to 0$, как и ожидалось).

(Несколько) большая картина

Первое, что мы должны сделать, это провести различие между внутренними и внешними источниками :

• Внутренний источник — это член лагранжиана, который включает только динамические поля, то есть поля, являющиеся частью уравнений движения . Например, у вас может быть теория КГ,

  $$\mathcal L\sim (\partial\phi)^2-m^2\phi^2+g\phi^3$$ где можно сказать, что последний член является внутренним источником (хотя обычная терминология - это просто взаимодействие ). Этот термин является внутренним , поскольку он зависит только от$\phi$, которое само по себе является динамическим полем (определяемым из EoM). Другой (более наглядный) пример — лагранжиан для КЭД, $$\mathcal L\sim \bar\psi(i\not\partial-m)\psi-F^2+eA_\mu \bar\psi\gamma^\mu\psi$$ Опять же, последний член является внутренним источником, потому что он зависит только от динамических полей,$\psi$и$A$, которые определяются из EoM. Я хотел бы подчеркнуть, что обычно люди говорят не «внутренний источник», а «взаимодействие».

• Внешний источник — функция в лагранжиане, определяемая извне (фиксированная), т. е. функция, не являющаяся динамической (для этой функции нет уравнения движения) . Типичными примерами являются$J$которые используются в интегралах по путям,

  $$\mathcal L\sim (\partial\phi)^2-m^2\phi^2+g\phi^3+\phi(x)J(x)$$ и фиксированные (фоновые) функции в эффективных теориях, как, например, электромагнитное поле в низкоэнергетической трактовке атома водорода: $$\mathcal L\sim \bar\psi(i\not\partial-m)\psi+eA_\mu \bar\psi\gamma^\mu\psi$$ (здесь,$A_\mu$является внешним источником, потому что нет кинетического члена$F^2$для него, и поэтому значение$A$приходится писать от руки, скажем, кулоновский потенциал$A_0\sim e/r$.

Обратите внимание, что внешние источники нарушают трансляционную инвариантность теории (по очевидной причине: внешний источник имеет фиксированную зависимость от положения, и поэтому «физика не везде выглядит одинаково»). Поэтому, если есть внешние источники,$P_\mu|0\rangle\neq 0$и vev зависят от позиции, как обсуждалось в первой части этого ответа.

С другой стороны, внутренние источники не нарушают трансляционной инвариантности теории, поскольку сами источники трансформируются вместе с полями. Это может быть легче понять на примере. Рассмотрим сначала теорию только с внутренними источниками:

$$S=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x))^2-m^2\phi(x)^2-g\phi(x)^3$$ что при переводе $x\to x-a$превращается в $$S_a=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x-a))^2-m^2\phi(x-a)^2-g\phi(x-a)^3$$ что то же самое, что и раньше, $S_a=S$, потому что мы интегрируем по всему пространству и $\mathrm d(x-a)=\mathrm dx$.

С другой стороны, рассмотрим теорию с внешним источником:

$$S=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x))^2-m^2\phi(x)^2-\phi(x)J(x)$$ что при переводе $x\to x-a$превращается в $$S_a=\int\mathrm dx\ (\partial\phi(x-a))^2-m^2\phi(x-a)^2-\phi(x-a)J(x)$$ что не так, как раньше, из-за $J(x)$срок. Действие уже не то, что раньше, поэтому перевод изменил теорию. На этом этапе вы можете прочитать этот мой ответ . В обозначении этого поста $(2)$производная лагранжиана с внешними источниками отлична от нуля.

Подводя итог,

• Если есть только внутренние источники , то теория трансляционно инвариантна, и поэтому все vev не зависят от позиции (как можно легко показать, используя$P_\mu|0\rangle=0$и$Q_\alpha(x)=\mathrm e^{-iPx}Q_\alpha(x)\mathrm e^{iPx}$, где$Q_\alpha(x)$любое поле). В большинстве случаев мы переопределяем каждое поле$Q_\alpha(x)\to Q_\alpha(x)-\langle Q\rangle$так что все vev равны нулю (это важно для перенормировки). В некоторых случаях (например, в случае поля Хиггса) ненулевое vev имеет физический смысл (но имеет смысл только из-за формы лагранжиана для поля Хиггса и не имеет смысла, скажем, для поля Хиггса). стандартное поле KG). В любом случае, если источники внутренние, то vev постоянны.

• Если есть только внешние источники , то теория свободна. Поэтому vev зависят от положения, но в пределе$J\to 0$мы должны иметь$\langle\phi\rangle\to 0$, как и должно быть для свободной теории.

• Если есть внутренние и внешние источники, vev зависит от положения и не стремится к нулю, как внешние источники стремятся к нулю (и, следовательно, мы должны перенормировать поля).