Связь между преобразованием Фурье и пространством Фока

Question

Связь между преобразованием Фурье и пространством Фока

Золото

Сначала рассмотрим классическое поле Клейна-Гордона. Уравнение $(\Box +m^2)\phi = 0$ которое при использовании преобразования Фурье становится (здесь я обозначаю преобразование Фурье с $\hat{}$ по-прежнему.

(\partial_{т}^{2} + ю_{к}^{2}) \hat{ф} "=" 0

$(\partial_t^2+\omega_{k}^2)\hat{\phi}=0$

это уравнение имеет решение (с наложенным условием реальности)

\hat{ф} (к, т) "=" а_{к} е^{- я ю_{к} т} + а_{к}^{*} е^{я ю т}

$\hat{\phi}(\mathbf{k},t)=a_{\mathbf{k}}e^{-i\omega_k t}+a_\mathbf{k}^\ast e^{i\omega t}$

что, в свою очередь, дает общее решение

ф (Икс, т) "=" \int \frac{г^{3} к}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ю_{к}}} (а_{к} е^{- я к_{мю} {Икс}^{мю}} + а_{- к}^{*} е^{к_{мю} {Икс}^{мю}})

$\phi(\mathbf{x},t)=\int \dfrac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_k}}(a_\mathbf{k}e^{-ik_\mu x^\mu}+a_{-\mathbf{k}}^\ast e^{k_\mu x^\mu})$

Здесь нет ничего необычного. Это стандартный метод решения дифференциального уравнения с преобразованием Фурье.

Теперь, при квантовании поля, естественным способом поднять это выражение является

ф (Икс, т) "=" \int \frac{г^{3} к}{(2 π)^{3} \sqrt{2 ю_{к}}} (а_{к} е^{- я к_{мю} {Икс}^{мю}} + а_{- к}^{†} е^{к_{мю} {Икс}^{мю}})

$\phi(\mathbf{x},t)=\int \dfrac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3\sqrt{2\omega_k}}(a_\mathbf{k}e^{-ik_\mu x^\mu}+a_{-\mathbf{k}}^\dagger e^{k_\mu x^\mu})$

что снова является просто преобразованием Фурье операторов.

Теперь мой вопрос: одним из способов мы можем вывести из этого, что канонические коммутационные соотношения для $\phi$ эквивалентны коммутационным соотношениям для $a_\mathbf{k}$ существование $[a_{\mathbf{k}},a_{\mathbf{k'}}^\dagger]=(2\pi)^3\delta(\mathbf{k}-\mathbf{k}')$ и это довольно просто.

У меня есть проблема: затем можно просто представить способ построить все это, то есть пространство Фока. Если кто-то определяет пространство Фока, он естественно приходит с парой операторов $a$ и $a^\dagger$ который подчиняется именно этим коммутационным соотношениям и может использоваться для определения полей.

При таком подходе заранее известно решение — использовать пространство Фока — и просто с ним работать. Считается, что сначала строятся операторы рождения и уничтожения, а также фоковское пространство, а затем определяются квантовые поля.

Я хочу знать, как можно прийти к такому заключению, используя пространство Фока. Кажется, что всегда , когда кто-то разлагает один оператор в преобразовании Фурье, коэффициенты преобразования Фурье являются операторами рождения и уничтожения в пространстве Фока. Я даже говорил, что некоторые люди говорят, что «это очевидно из расширения $\phi(x,t)$ что коэффициенты Фурье являются операторами рождения и уничтожения в фоковском пространстве».

Какова, таким образом, связь между преобразованием Фурье и пространством Фока? Почему «очевидно», что при разложении одного оператора по модам Фурье коэффициенты Фурье являются операторами рождения/уничтожения в некотором фоковском пространстве? Как можно прийти к пространству Фока с помощью преобразования Фурье?

Сальваторе Бальдино

Я недостаточно знаю, чтобы ответить, но, может быть, я могу предложить вам Квантовую теорию поля Вайнберга, где он использует подход, который вы предлагаете: он сначала определяет состояния частиц, фоковское пространство, а затем переходит к связыванию операторов рождения и уничтожения ( которые естественным образом возникают в фоковском пространстве) к физическим полям.

Космас Захос

Классическая теория поля разрешает нормальные режимы осцилляторов посредством преобразования Фурье. Имея бесконечный набор несвязанных классических осцилляторов, вы можете квантовать каждый из них и упаковать их все в пространство Фока. Вы можете или не можете преобразовать обратно в координаты, чтобы сравнить/сопоставить с классическими полями в координатном пространстве. Существуют и другие схемы квантования, но вы можете потерять свою нить, если полностью не усвоите эту структуру функтора.

Ответы (2)

Связь между преобразованием Фурье и пространством Фока

Я недостаточно знаю, чтобы ответить, но, может быть, я могу предложить вам Квантовую теорию поля Вайнберга, где он использует подход, который вы предлагаете: он сначала определяет состояния частиц, фоковское пространство, а затем переходит к связыванию операторов рождения и уничтожения ( которые естественным образом возникают в фоковском пространстве) к физическим полям.
Классическая теория поля разрешает нормальные режимы осцилляторов посредством преобразования Фурье. Имея бесконечный набор несвязанных классических осцилляторов, вы можете квантовать каждый из них и упаковать их все в пространство Фока. Вы можете или не можете преобразовать обратно в координаты, чтобы сравнить/сопоставить с классическими полями в координатном пространстве. Существуют и другие схемы квантования, но вы можете потерять свою нить, если полностью не усвоите эту структуру функтора.

гаутампк · Answer 1

Это было (есть) одной из моих самых больших проблем во время изучения QFT. Причина использования пространства Фока на самом деле очень проста и интуитивно понятна для скалярного поля (при условии, что вы знакомы со стандартным QM), но она всегда маскируется ужасной концепцией «канонического квантования».

Возьмем преобразование Фурье уравнения Клейна-Гордона:

\partial_{т}^{2} \hat{ф} "=" - ю_{к}^{2} \hat{ф}

$\partial_t^2\hat{\phi} = -\omega_{k}^2\hat{\phi}$

это классическое уравнение движения гармонического осциллятора. Есть один из них для каждого возможного импульса (это соответствует $\phi$ будучи полем над пространством, превращающимся в $\hat{\phi}$ которое является полем над импульсом).

Преобразовать лагранжиан сложнее (поскольку он включает в себя такие члены, как $\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2$ ), но можно предположить, что он аналогично описывает $\hat{\phi}$ как бесконечный спектр гармонических осцилляторов. Учитывая это, разумно предположить, что квантовый лагранжиан/гамильтониан для $\hat{\phi}$ аналогично соответствует бесконечному спектру квантовых гармонических осцилляторов. Это мы знаем форму:

ЧАС "=" \int \frac{г^{3} п}{2 Е_{п}} а_{п}^{†} а_{п},

$H = \int \frac{d^{3}p}{2E_{p}}a_{p}^{\dagger}a_{p},$

где я опустил энергию нулевой точки, потому что вы можете (это соответствует переупорядочению полей, что является двусмысленностью, которая существует при переходе к некоммутирующему квантовому случаю из коммутирующего классического случая), и это позволяет избежать обычных проблем с бесконечной энергией .

Теперь мы просто утверждаем, что $\phi$ имеет тот же квантовый лагранжиан, что и в классическом случае, и что указанный выше гамильтониан является преобразованием Фурье (преобразования Лежандра) лагранжиана. Если вы проработаете, то обнаружите, что у вас получается каноническая форма поля. Дэвид Тонг делает это на странице 24 своих заметок , хотя он делает это, по сути, предлагая каноническую форму как анзац.

Затем вы просто используете свой бесконечный набор операторов уничтожения и создания, которые возникли естественным образом, чтобы генерировать бесконечный набор числовых состояний QHO (по одному для каждого импульса). Это идентично пространству Фока, сгенерированному оператором импульса, поэтому вы просто относитесь к нему как к пространству Фока.

тостер · Answer 2

Преобразование Фурье поля уступает операторам рождения/уничтожения, создающим частицу с заданным импульсом. Например, вы также можете определить операторы создания/уничтожения в пространстве позиций просто через

а_{Икс} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (ф (Икс) + я π (Икс)) и а_{Икс}^{†} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (ф (Икс) - я π (Икс))

$a_x = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi(x) + i \pi(x))\text{ and }a_x^\dagger = \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi(x) - i \pi(x))$ которые выполняют

[a_{x}, a_{y}^{†}] = δ (x - y)

$[a_x,a_y^\dagger] = \delta(x-y)$ (вы можете масштабировать их на

\sqrt{2 π}

$\sqrt{2\pi}$ если ты хочешь).

Теперь вы можете написать

ф (Икс) "=" \int г^{3} Икс {ты}_{Икс} а_{Икс} + {ты}_{Икс}^{*} а_{Икс}^{†}

$\phi(x) = \int \mathrm d^3x\,u_xa_x + u_x^*a_x^\dagger$ где

u_{x}

$u_x$ являются решениями, которые представляют собой дельта-пик при

t = 0

$t=0$ .

Тогда вы можете в основном преобразовать Фурье поле $\phi(x)$ и получить операторы рождения/уничтожения импульсных мод.

Связь между преобразованием Фурье и пространством Фока

Золото

Сальваторе Бальдино

Космас Захос

Ответы (2)

гаутампк

тостер

Можно ли построить чисто бозонный оператор рождения в скалярной КТП?

Путаница в модах и квантовой теории поля

Суперпозиция состояний при вторичном квантовании

Вакуум в квантовых теориях поля: что это такое?

Что означает квадратный корень из лапласиана?

Свойство эрмитовости "позиционных" операторов со скалярным произведением Клейна-Гордона

Ожидаемое значение вакуума в присутствии источника

Концептуальная трудность в понимании непрерывного векторного пространства

Состояния в КМ и в алгебраическом подходе

2 запутанных электрона в КТП