Линза, фокусирующая коллимированный пучок в диск из какого-либо материала. Сдвиг фокуса из-за движения материала?

Я столкнулся с задачей геометрической оптики, которая дала пример линзы, фокусирующей коллимированный луч в диск из некоторого материала с показателем преломления н . Затем утверждалось, что если диск переместится к линзе на расстояние т , гарантируя, что фокус все еще остается внутри материала, затем фокус смещается на н т внутри материала. Это предполагает параксиальное приближение.

Однако не приводится никаких объяснений того, почему фокус смещается на н т , а также не дается никакого объяснения того, как можно прийти к этому результату.

Ранее я вывел следующее уравнение для поперечного смещения луча при движении по воздуху и ударе о пластину из некоторого материала:

Икс "=" г грех ⁡ ( θ ) [ 1 − 1 − грех 2 ⁡ ( θ ) н 2 − грех 2 ⁡ ( θ ) ] ,

где г это толщина материала. Затем я использовал это, чтобы найти последующее смещение фокуса вдоль оптической оси:

Ф 2 − Ф 1 "=" Икс грех ⁡ ( θ )

Мне кажется, что это релевантные результаты для получения смещения фокуса для такой проблемы, как эта. Тем не менее, я до сих пор не смог использовать их для получения н т .

Моя немедленная мысль заключалась в том, что я мог бы использовать Ф 2 − Ф 1 "=" Икс грех ⁡ ( θ ) чтобы решить эту проблему, но даже после выполнения параксиального приближения это, похоже, не дало мне желаемого результата (если я не сделал ошибку):

Ф 2 − Ф 1 "=" Икс θ "=" г θ ( 1 − 1 н ) θ "=" г ( 1 − 1 н )

И это, кажется, не объясняет т , смещение материала по направлению к линзе.

Мой набросок проблемы выглядит следующим образом:

введите описание изображения здесь

Я был бы очень признателен, если бы люди могли найти время, чтобы объяснить это.

Возможно это поможет: en.wikipedia.org/wiki/Snell%27s_law
@ S.McGrew Если бы я получил поперечный сдвиг Икс "=" г грех ⁡ ( θ ) [ 1 − 1 − грех 2 ⁡ ( θ ) н 2 − грех 2 ⁡ ( θ ) ] , то я не думаю, что незнание закона Снелла является проблемой...
Простой способ оценить местоположение фокуса — использовать закон Снеллиуса, чтобы проследить два наиболее угловых луча и посмотреть, как меняется точка их пересечения при смещении поверхности среды.
Разве это не параксиальное приближение, что sin тета = тан тета = тета?
@lalala Это правильно.
@ S.McGrew Но чем это отличается от получения поперечного сдвига? В частности, я не уверен, как мы учитываем смещение материала к линзе с помощью т .
Это просто использование закона Снеллиуса и простой геометрии. Луч проходит в 2 этапа, первый до того, как он попадает на сферическую поверхность. В этой фазе луч имеет угол θ 1 . Рассчитайте расстояние по оси Y, пройденное в этой фазе, для расстояния между линзой и сферической поверхностью Д . Теперь вычислите расстояние по оси x, пройденное на втором этапе. В этой фазе луч имеет угол θ 2 . Просто рассчитайте θ 2 "=" θ 2 ( Д ) с помощью закона Снеллиуса. Вычислите, какое расстояние x г "=" г ( Д ) луч охватывает, прежде чем он попадает у "=" 0 . Теперь вы получаете функцию Д т о т а л ( Д ) "=" Д + г ( Д ) . Рассчитать Д т о т а л ( Д ) − Д т о т а л ( Д + т ) .
Как насчет того, чтобы сделать эти расчеты и опубликовать их в качестве дополнения к своему вопросу, а мы поможем вам, если вы застряли?
@ThePointer, ваш рисунок выглядит так, как будто свет попадает на край диска (а не на плоскую поверхность диска), но ваши слова об этом не говорят. Это имеет значение, потому что край диска будет действовать как линза. Просьба уточнить.

Ответы (1)

Первая атака : ответ кажется независимым от геометрии диска и линзы.

Рассмотрим следующий рис.1:лучевая диаграмма: луч приближается к вертикальной полуплоскости индекса эта

Здесь вместо диска используется вертикальная полуплоскость индекса η . г где луч сфокусировался бы, если бы не было никакого материала. В присутствии вещества луч фокусируется в г ′

Четко,

г ′ "=" г т а н ( я ) т а н ( р ) ≈ г η
используя малоугловое приближение. Поэтому
Δ г ′ "=" Δ г η
для смещений вдоль оптической оси. Если материал смещается т к объективу, т.е. Δ г "=" т , затем фокус смещается на Δ г ′ "=" η т

Пока малый угол ок. держится, обратите внимание, что
1. результат такой же, даже если материал не был вертикальным. Это потому, что все, что может сделать наклон, это изменить я .
2. диск в каждой точке падения представляет собой наклонную касательную плоскость.

Вторая атака : уравнение линзы

Для сферической линзы

  1. радиус р

  2. показатель преломления η

  3. расстояние до объекта ты

  4. расстояние изображения в

  5. длина жеребенка ф

Справедливо следующее:

− 1 ты + η в "=" 1 ф "=" η − 1 р

под

  1. малый угол приблизительно &
  2. картезианское соглашение и
  3. линза бесконечно расширяется вправо

Перестановка

в "=" η ф ты ф + ты

поэтому для ты ′ "=" ты − т ,

в ′ − в "=" η т ( 1 + ты ф ) ( 1 + ты − т ф )

В режиме т ≪ ты ≪ ф , до первого порядка Δ в "=" в ′ − в "=" η т

Не могли бы вы показать, как вы получили г ′ "=" г т а н ( я ) т а н ( р ) ? Используемая здесь тригонометрия мне непонятна.
@Пойнтер загар ⁡ я "=" час г , загар ⁡ р "=" час г ′ , где час высота точки преломления от главной оси
Линза, фокусирующая коллимированный пучок в диск из какого-либо материала. Сдвиг фокуса из-за движения материала?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v