Логический вопрос относительно логической истины

Это пример «логической истины» и, в частности, пример универсальной формулы логики предикатов, но не (пропозициональная) тавтология .

Если все объекты являются Cube , формула имеет значение True.

Сложный случай, когда не все объекты являются кубами : в этом случае ∀yCube(y) имеет значение False.

Но если ∀yCube(y) имеет значение False, у нас есть некоторые объекты a , такие что Cube(a) имеет значение False.

Таким образом, Cube(a) → ∀yCube(y) есть False → False, т.е. True.

Вы путаете две разные системы логики. Сентенциальная или пропозициональная логика использует переменные для представления целых предложений (отсюда и название) и связывает их с операторами, такими как если-то. Таблицы истинности используются в сентенциальной логике. Логика предикатов (первого порядка) расширяет сентенциальную логику, добавляя конструкции объект-предикат (например, «x есть куб») и квантификаторы («существует x такой, что»).

Таблицы истинности нельзя использовать в логике предикатов. Чтобы понять, почему, рассмотрим предложение (x) x=x(для всех х х тождественно х). Это предложение логически верно. Но если бы вы попытались представить это в сентенциальной логике, то получили бы просто p. И pне является логически истинным — одна строка его таблицы истинности ложна.

(Кроме того, логическая истина, логическая необходимость и тавтология — все это синонимы. Так что в сентенциальной логике нахождение строки таблицы истинности, в которой предложение ложно, показывает, что оно логически неверно. )

На более-менее естественном английском языке ваше предложение эквивалентно следующему: «либо что-то не является кубом, либо все является кубом». Вероятно, будет легко увидеть, что это логически верно. (Ответ Мауры АЛЛЕГРАНЗА дает более подробную информацию здесь.) Но это еще не формальное доказательство.

Вот формальное доказательство с использованием доведения до абсурда:

WTS: (Ex)[Cx -> (y) Cy]

1. Assume for RAA: -(Ex)[Cx -> (y) Cy]
2. (x) -[Cx -> (y) Cy]
3. -[Ca -> (y) Cy]
4. Ca & -(y) Cy
5. Ca
6. -(y) Cy
7. (Ey) -Cy
8. -Cb
9. -[Cb -> (y) Cy]  (from 2)
10. Cb & -(y) Cy
11. Cb 
-><- (8, 11)

Вот доказательство с использованием программного обеспечения Fitch (извините, оно использует P вместо Cube):