Помогите с простым дедуктивным доказательством

Я впервые посещаю урок естественной дедукции, и сейчас мы занимаемся дедуктивными доказательствами, у меня проблемы с этим:

Premise: A
Premise: [(A&B) or (C&D)]
Conclusion: not (C&D) implies (A&B)

Я не знаю, с чего начать, может быть, мне нужно сначала доказать лемму, но я не уверен, что именно.

Вы уверены, что правильно скопировали? Вы можете легко доказать [~(C&D) -> (A&B)] только из второй посылки.
Да, я уверен, что это то, что написано. Если только я не путаю подразумеваемый символ. В моей книге это выглядит как перевернутая буква U, поэтому закругленный край ближе всего к (A&B). Как мне начать это доказательство, не прибегая к таблицам истинности? Какие законы я могу использовать?

Ответы (3)

Нам дано два помещения:

  1. А;

  2. (А ∧ В) ∨ (С ∧ D).

Цель состоит в том, чтобы принять (1-2) и вывести: ¬(C ∧ D) → (A ∧ B). Я должен начать с того, что посылка (1) бесполезна, и в дальнейшем мы будем просто использовать посылку (2). Вот одна из стратегий, которую вы можете использовать. Это довольно нейтральная система, поэтому попробуйте реализовать ее в вашей конкретной системе проверки и не стесняйтесь обращаться за дальнейшими указаниями, если вы не совсем уверены, как действовать дальше. Надеюсь, вы найдете это полезным и удачи.

Доказательство. Предположим, что ¬(C ∧ D). Наша цель — получить (A ∧ B). Посылка (2) говорит нам, что либо (A ∧ B) истинно, либо (C ∧ D) истинно, поэтому мы продолжаем доказывать по случаям . Предполагая первый случай: (A ∧ B) немедленно дает нам (A ∧ B). Предполагая, что (C ∧ D) противоречит нашему исходному предположению ¬(C ∧ D), мы получаем противоречие (символически: ⊥). Тогда устраняем противоречие, получая (A ∧ B). Этот шаг устранения оправдан тем фактом, что в классической логике из противоречия следует что угодно . Поскольку обе дизъюнкции посылки (2) ведут к (A ∧ B), мы заключаем путем устранения дизъюнкции (также известного как доказательство по случаям ), что (A ∧ B) истинно. Поскольку, предположив ¬(C ∧ D), мы смогли вывести (A ∧ B), мы заключаем с помощью ∧-введения (также известного как прямое доказательство), что ¬(C ∧ D) → (A ∧ B).

Вам просто позволено предположить, что часть вывода верна вот так?
@user8363 user8363 В текущем контексте (A и B) верно. Другими словами, если вы принимаете посылку (2), а не (C и D), то (A и B) верны. Это, конечно, не означает, что вы можете заключить, что (А и В) истинны, вне этого контекста. Имеет ли это смысл?
не совсем, не могли бы вы объяснить немного больше? Кстати спасибо за помощь!
@user8363 user8363 забыл, что я сказал «(A и B) верно». Я мог бы просто сказать: «(А и Б)». Все, что нам нужно сказать, это следующее: (А и В) следует из не (С и D) и посылки (2) с помощью изложенных выше рассуждений.
Возьмите P v Qза основу. Когда мы предполагаем ~P; затем Qдизъюнктивным силлогизмом. Отменить предположение, чтобы сделать вывод ~P -> Q(через условное введение)
@GrahamKemp ха-ха! конечно :) Мы не используем внутреннюю структуру P и Q, так что это просто и приятно

Лучший способ выполнить эти упражнения — просто прочитать и понять каждую предпосылку, а также заключение. Если вы понимаете утверждения, вы интуитивно найдете, как доказать вывод. Давайте посмотрим на следующее:

  1. А
  2. ЛИБО (А И В) ИЛИ (С И D)

Из этих двух посылок мы знаем, что имеет место случай А (строка 1), и мы знаем, что имеют место либо А, и В, либо оба случая С и D (строка 2). Когда у вас есть утверждение ИЛИ-ИЛИ, вы знаете, что имеет место одна или другая сторона ИЛИ (а возможно, и обе). Это означает, что если одна из двух сторон не имеет значения , то другая сторона должна иметь место. Это позволяет нам вывести некоторые интересные логические следствия. Итак, теперь, когда мы поняли значение двух посылок, давайте посмотрим на вывод, который нас просят сделать.

Вывод: ЕСЛИ НЕ-(С И D), ТО (А И В)

Это говорит о том, что если С И D не имеет места, то имеет место А И В.

Ну да, конечно! Это немедленно следует из посылки 2. Действительно, когда у вас есть утверждение ИЛИ-ИЛИ (т. е. дизъюнкция), по определению одна из двух сторон должна быть истинной. Следовательно, если одно из них ложно (в этом упражнении «С И D»), то другое должно быть истинным (здесь «А И В»).

Таким образом, ответ на это упражнение состоит в том, чтобы просто вывести вывод из строки 2, шаг, который вы должны обосновать, обратившись к правилу дизъюнктивного силлогизма (или устранения дизъюнкции) (в зависимости от учебника, который вы используете в классе), примененному к строке 2.

Кстати, посылка 1 бесполезна для получения желаемого вывода. Это только для того, чтобы заморочить голову!

Уже знание правил вывода помогает. Необходимо не более трех шагов. Вторая посылка применяет правило Материального Импликации. Это утверждает либо или действительно является условным, и наоборот. Таким образом, посылка 2 (a и b) V (c и d) становится условной с отрицаемым антецедентом. В этом случае мы меняем местами дизъюнкции, а ЗАТЕМ используем правило материальной импликации, подобное этому ~ (c & d) -> (a & b).

Правило материальной импликации преобразует условные предложения в дизъюнкции и наоборот. Так что ЛЮБОЙ. . . ИЛИ действительно является условным, а любое условное является либо . . . или же. Форма такова: p V q эквивалентно ~p -> q. Таблицы истинности подтверждают ВСЕ правила вывода. Так что знание правил — отличная помощь и быстрый путь к доказательствам. Если у вас есть условное выражение, то то же правило: p -> q эквивалентно ~p V q. Заглавная буква V означает либо . . . ИЛИ ЖЕ.

Помогите с простым дедуктивным доказательством
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v