Магнитное поле и поток векторного потенциала

Question

Магнитное поле и поток векторного потенциала

Матиас Людевиг

Извините, если мой вопрос не совсем конкретен, но поехали.

Рассмотрим функцию Гамильтона

ЧАС (Икс, ξ) "=" \frac{1}{2 м} | ξ - е А (Икс) |^{2}

$H(x, \xi) = \frac{1}{2m}\bigl|\xi - eA(x)\bigr|^2$ соответствует заряженной частице в магнитном поле, где

A

$A$ есть векторный потенциал (т.е. некоторое векторное поле),

e

$e$ это заряд и

m

$m$ это масса.

Классические траектории в $x(t)$ удовлетворяют уравнению второго порядка

м \ddot{Икс} "=" е (\dot{Икс} \times с ты р л А (Икс)),

$m\ddot{x} = e \,\bigl(\dot{x} \times \mathrm{curl}\,A(x)\bigr),$ В частности, если заменить

A (x)

$A(x)$ к

\tilde{A} (x) := A (x) + \nabla f (x)

$\tilde{A}(x) := A(x) + \nabla f(x)$ для некоторой функции

f

$f$ , получаем те же классические траектории, так как

c u r l \tilde{A} = c u r l A

$\mathrm{curl}\,\tilde{A} = \mathrm{curl}\,A$ .

Мой вопрос: пусть $\Theta_t(x)$ — поток векторного поля $A$ . Делает $\Theta_t(x)$ имеют какое-либо физическое значение (классическое или квантово-механическое), связанное с этой проблемой? Если да, то что это?

На первый взгляд ответ кажется «нет», потому что поток явно очень сильно зависит от функции. $f$ выше, что, с другой стороны, не играет роли для классической траектории. Но есть ли что-то еще?

Феникс87

Я думаю, что ваша интерпретация верна.

A

$\mathbf A$ это просто векторный потенциал , поэтому он определен с точностью до градиента некоторой дважды дифференцируемой скалярной функции. То, что вы можете физически наблюдать, — это поток завитков, которые являются просто силовыми линиями поля.

Ответы (2)

Магнитное поле и поток векторного потенциала

Я думаю, что ваша интерпретация верна. $\mathbf A$ это просто векторный потенциал , поэтому он определен с точностью до градиента некоторой дважды дифференцируемой скалярной функции. То, что вы можете физически наблюдать, — это поток завитков, которые являются просто силовыми линиями поля.

К. Эспарса · Answer 1

Из моего курса электромагнетизма я узнал, что векторный потенциал можно интерпретировать как количество движения на единицу заряда или как потенциальную энергию на единицу заряда и единицу скорости, по крайней мере, в случае стационарных токов, потому что в этом случае случае магнитная сила

\begin{array}{rcl} Ф & "=" & д в \times Б "=" д в \times (\nabla \times А) "=" д [\nabla (в \cdot А) - (в \cdot \nabla) А] \\ "=" & - \nabla (- д в \cdot А) + \frac{д}{д т} (- д А) "=" - \nabla U + \frac{д п}{д т} \end{array}

$\begin{eqnarray} \boldsymbol{F}&=&q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}=q\boldsymbol{v}\times\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)=q\left[\nabla\left(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}\right)-\left(\boldsymbol{v}\cdot\nabla\right)\boldsymbol{A}\right]\\&=&-\nabla\left(-q\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}\right)+\frac{d}{dt}\left(-q\boldsymbol{A}\right)=-\nabla U+\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} \end{eqnarray}$

а потом

\begin{array}{rcl} U & \equiv & - д в \cdot А \\ п & \equiv & - д А \end{array}

$\begin{eqnarray} U&\equiv&-q\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{p}&\equiv&-q\boldsymbol{A} \end{eqnarray}$

и интерпретация следует из этих выражений. Более глубокое обсуждение значения векторного потенциала и его реальности можно найти в « Фейнмановских лекциях по физике», том. 2

Райан Унгер · Answer 2

С $\vec A$ нельзя наблюдать напрямую, я не понимаю, почему можно наблюдать и его интегральные кривые (проявление потока). Именно эта «нефизичность» делает возможными калибровочные преобразования. В конце концов, не имеет смысла измерять преобразование физической величины. Это было бы совершенно произвольно!

Что касается уравнения движения, то вспомним определение магнитного поля:

\vec{Б} "=" завиток \vec{А}

$\vec B=\operatorname{curl}\vec A$ То, что мы наблюдаем, это поток

ϕ_{t}

$\phi_t$ из

\vec{B}

$\vec B$ . Помните то, что вы делали в старшей или средней школе с железной стружкой и магнитом? Те линии, которые вы видели, были интегральными кривыми

ϕ_{t}

$\phi_t$ .

Магнитное поле и поток векторного потенциала

Матиас Людевиг

Феникс87

Ответы (2)

К. Эспарса

Райан Унгер

Сила Лоренца в теории Дирака и ее классический предел

Как гиромагнитное отношение появилось до квантовой механики и кто его ввел?

Однородное постоянное магнитное поле и традиционная сила притяжения

Как я могу использовать магнит, чтобы поднять скрепку?

Существует ли классическое объяснение того, почему электрон в основном состоянии атома водорода не скручивается по спирали в протон? [закрыто]

Должен ли я использовать закон Кулона, когда магниты притягиваются/отталкиваются?

Свет от колеблющихся электрических и магнитных полей

Электроны как крошечные магниты

Токовая петля и неоднозначность направления магнитного момента

Квантовая циклотронная частота — почему она отличается в 2 раза?