Максимальный угловой момент для орбиты в ОТО

Question

Максимальный угловой момент для орбиты в ОТО

negligible_singularity

[Ссылкой на этот вопрос является книга «Гравитация» Мизнера, Торна и Уилера.]

Траектории массивных частиц вокруг сферически-симметричного тела определяются эффективным потенциалом

\tilde{В} (\tilde{л}, р) "=" (1 - \frac{2 М}{р}) (1 + \frac{{\tilde{л}}^{2}}{р^{2}})

$\tilde{V}(\tilde{L}, r) = \left( 1 - \frac{2M}{r}\right) \left( 1 + \frac{\tilde{L}^2}{r^2}\right)$ где орбитальный инвариант

\tilde{L}

$\tilde{L}$ угловой момент на единицу массы покоя

\frac{L}{μ}

$\frac{L}{\mu}$ .

Вопрос в том, есть ли верхний предел $\tilde{L}$ для связанных орбит?

Я думаю следующее: в ньютоновской физике угловой момент ничем не ограничен. Однако из специальной теории относительности мы знаем, что существует верхний предел скорости любой частицы. Поскольку угловой момент связан с $\dfrac{d\phi}{dt}$ , наивно используя

р \frac{г ф}{г т} \leq с

$r \frac{d\phi}{dt} \leq c$

дает мне,

\tilde{л} \leq \tilde{Е} \frac{р^{2}}{р - 2 М}

$\tilde{L} \leq \tilde{E} \frac{r^2}{r- 2M}$

Как действовать дальше?

Джон Ренни

Очевидно, что для несвязанных траекторий угловой момент может быть сколь угодно большим, поскольку

p

$p$ может быть сколь угодно высоким. Вы конкретно думаете о связанных орбитах?

negligible_singularity

@JohnRennie Да. Спасибо . Я сделал соответствующее редактирование.

Ответы (1)

Максимальный угловой момент для орбиты в ОТО

Очевидно, что для несвязанных траекторий угловой момент может быть сколь угодно большим, поскольку $p$ может быть сколь угодно высоким. Вы конкретно думаете о связанных орбитах?
@JohnRennie Да. Спасибо . Я сделал соответствующее редактирование.

Джон Ренни · Answer 1

Оказывается, это действительно скучный ответ. Мы можем найти две круговые орбиты, найдя максимумы и минимумы эффективного потенциала, и мы получим:

\begin{matrix} (1) & р "=" \frac{л^{2}}{2 М} (1 \pm \sqrt{1 - \frac{12 М^{2}}{л^{2}}}) \end{matrix}

$r = \frac{L^2}{2M}\left(1 \pm \sqrt{1 - \frac{12M^2}{L^2}}\right) \tag{1}$

где $+$ дает внешнюю устойчивую орбиту и $-$ дает внутреннюю неустойчивую орбиту. Обратите внимание, что обе орбиты существуют только для $L^2 \ge 12M$ , что дает ожидаемый результат для самой внутренней устойчивой орбиты $r = 6M$ .

Во всяком случае, если мы возьмем предел больших $L$ мы нашли:

р \propto л^{2}

$r \propto L^2$

Таким образом, мы можем сделать $L$ настолько большим, насколько мы хотим, сделав радиус орбиты таким большим, как мы хотим.

Это легко понять, взглянув на классическую орбиту. Орбитальная скорость падает с радиусом орбиты как $v = \sqrt{GM/r}$ так $\omega=\sqrt{GM/r^3}$ , но момент инерции возрастает как $I=mr^2$ . Сложите все вместе, и вы получите $L=I\omega=m\sqrt{GMr}$ .

Максимальный угловой момент для орбиты в ОТО

negligible_singularity

Джон Ренни

negligible_singularity

Ответы (1)

Джон Ренни

Моделирование прохождения релятивистского зонда через внешнюю солнечную систему

Что не так с предложенным Абрахамом законом силы в первой теории гравитации Нордстрема?

Второй закон Кеплера в общей теории относительности

Существует ли физически осмысленный пример скалярного потенциала пространства-времени?

Предскажет ли специальная теория относительности замедление времени геостационарного спутника по сравнению с наблюдателем на Земле?

Нарушает ли 3-й закон движения планет Кеплера первый постулат?

Относительные тактовые частоты двух спутников с одинаковыми, но противоположными орбитами направления

Трактовка Пенроузом релятивистского углового момента

Маленькая частица, вращающаяся вокруг нейтронной звезды

Влияет ли вращение Земли на ретроградное орбитальное движение искусственных спутников?