масштабная теория локализации Андерсона

Но как эта величина связана с исходной проблемой Андерсона? Как это связано с локализацией/делокализацией собственных состояний?

Допустим, у нас есть система конечного беспорядка размера$L$и размер$d$в который мы помещаем некоторую частицу. Если система замкнута в том смысле, что частица не может выйти из системы, то возможные состояния связаны с системой, так что собственные состояния энергии образуют дискретный спектр . Учитывая все эти дискретные собственные состояния, можно вычислить среднее расстояние между уровнями $\Delta E$отделение каждого собственного состояния друг от друга, что связано со средней плотностью состояний $\nu$(на единицу объема) :

$$\nu=\frac{1}{\Delta E\;L^d}.\tag{1}$$ В свою очередь, если система открыта , частица может в конечном итоге выйти из системы, достигнув границы. Время$\tau_D$требуется, чтобы частица диффундировала к границе определяется таким образом, что: $$L\sim\sqrt{D\,\tau_D}\quad\text{i.e.}\quad\tau_D\sim\frac{L^2}{D},\tag{2}$$ куда$D$– коэффициент диффузии.

Это означает, что за счет своей диффузии в беспорядке частица может разрешать только отдельные собственные состояния с энергетическим разрешением$\delta E$такой, что:

$$\delta E\,\tau_D\sim\hbar\quad\text{i.e.}\quad \delta E\sim\frac{\hbar D}{L^2}.\tag{3}$$ куда$\delta E$часто называют « энергией Таулесса ».

Тогда критерий Таулесса для локализации [1] говорит нам, что система является локализованной по Андерсону, когда это энергетическое разрешение$\delta E$намного меньше среднего расстояния между уровнями$\Delta E$. Действительно, в этом предельном случае$\delta E\ll\Delta E$, частица может разрешить каждое из собственных состояний и занять одно из них навсегда.

Наоборот, в пределе, где$\delta E\gg\Delta E$различные энергетические уровни перекрываются друг с другом, а это означает, что частица может быть связана и переходить из одного состояния в другое, что приводит к диффузии к границе системы и делокализации.

После этого обсуждения кажется вполне естественным определить количество:

$$g=\frac{\delta E}{\Delta E}\sim\hbar D\,\nu\,L^{d-2}\tag{4}$$ как параметр порядка перехода Андерсона металл/изолятор, для которого$g\gg 1$соответствует делокализованной/металлической фазе, а$g\ll 1$к локализованной/изоляторной фазе.

В этот момент можно утверждать, что связь между этой новой величиной$g$и обычная проводимость$G=\sigma\,S/L\sim\sigma\,L^{d-2}$по закону Ома не очень понятно.

Но так как проводимость$\sigma$и коэффициент диффузии$D$связаны между собой соотношением Эйнштейна:

$$\sigma\propto e^2\,\nu\,D\quad\text{such that}\quad G\sim e^2\,\nu\,D\,L^{d-2}\tag{5}$$ на самом деле легко увидеть, сравнивая выражения (4) и (5), что$g$не имеет размерности и дает проводимость$G\sim (e^2/h)\,g$в единицах кванта проводимости$e^2/h$.

Итак, к вопросам:

Определяется ли g(L) гамильтонианом выше?

Он определяется спектральными свойствами собственных состояний гамильтониана, такими как плотность состояний$\nu$и среднее расстояние между уровнями в зависимости от размера$L$системы.

или нужны еще какие-то параметры, скажем, температура?

Все, что было сказано ранее, относилось к системе на$T=0$. С точки зрения фазового перехода между локализованным и диффузным состояниями единственной важной информацией является масштабирование$g$в зависимости от размера$L$системы, которая полностью определяется$\beta$-функция очень известной скейлинговой теории локализации.

Тем, кто заинтересован в изучении локализации Андерсона, я бы посоветовал ознакомиться с конспектами лекций Школы физики Лез-Уш на тему «Ультрахолодные газы и квантовая информация» (2009 г.), представленными Деландом и Мюллером. ИМО, это одна из редких ссылок, которым удается представить явления локализации простыми словами, в то же время пропуская треки с экспериментами по этому вопросу.

---

[1]: хороший обзор этого критерия Таулесса можно найти в Disordered electronic systems , PA Lee and TV Ramakrishnan, Rev.Mod.Phys. 57, 287 .

Как вы заметили, в литературе по локализации Андерсона используется несколько различных определений локализации, в том числе (но не ограничиваясь ими!):

1. Переход от расширенных к локализованным собственным состояниям. Это означает переход от конечной к нулевой диффузии частицы, инициализированной в некоторой области.

2. Переход от конечной к нулевой проводимости.

3. Изменение статистики распределения собственных состояний энергии от некоторого непуассоновского (часто гауссовского) распределения к пуассоновским распределенным уровням.

Эти наблюдаемые, грубо говоря, соответствуют самой простой сигнатуре локализации для исследования в теории, эксперименте и цифрах. Различные ограничения каждого из этих типов исследований являются причиной того, что используется так много определений.

Между каждым из этих понятий локализации существует некоторая связь, особенно в простейшем случае невзаимодействующих частиц. Локализованные собственные состояния означают, что состояния, близкие по энергии, вероятно, будут пространственно разделены и почти несвязаны, что приводит к статистике пуассоновского уровня, поскольку пересечения почти не избежать . Локализованные состояния также означают, что частицы должны туннелировать от точки к точке, чтобы двигаться по образцу, с множеством различных несоответствий энергии, что приводит к исчезновению проводимости в термодинамическом пределе.

Однако, помимо общих рассуждений такого типа, не очевидно, что эти определения должны точно совпадать, и аргументы, используемые для их связи, обычно нестроги. Например, статья, предоставленная ОП, более или менее утверждает связь между чувствительностью собственных состояний системы к граничным условиям, параметризуемым изменением энергии$\Delta E$между периодическими и антипериодическими граничными условиями и безразмерной проводимостью (из формулы Кубо). Таким образом, логическая цепочка примерно такова: расширенные состояния по сравнению с локализованными приводят к большей или меньшей чувствительности к граничным условиям, что, в свою очередь, приводит к конечной или нулевой проводимости в термодинамическом пределе. Отношения между этими величинами, упомянутые в этой статье, даны несколько более подробно в более ранней статье Таулесса . Для справки, эта формула, показанная в статье «Банда четырех», выглядит следующим образом:

$$\frac{\Delta E}{dE/dN}=\frac{2\hbar}{e^2}\sigma L^{d-2}$$

куда$dE/dN$среднее расстояние между уровнями и$L$является размером выборки. Вероятно, это самое близкое к количественному соотношению между локализацией в терминах собственных состояний и локализацией в терминах проводимости. Однако, по словам автора, «эквивалентность формулы Кубо-Гринвуда и широта$\nu$распределения$\Delta E$как описано в Ref. 3а точно не доказуема».

Лучшей ссылкой, которую я знаю для сравнения этих критериев локализации в более общем виде, является обзор Ван Тиггелена, найденный здесь (платный доступ, извините). Он заключает, что критерий локализованных волновых функций сильнее критерия исчезающей диффузии, а также сравнивает их с другими критериями локализации, которые я здесь не упомянул.

Наконец, вы спрашиваете,$g(L)$определяется только гамильтонианом или также занятыми состояниями (или температурой, если это тепловое распределение). Точное значение$g$конечно, должно зависеть от таких вещей, как температура, но главный вопрос, который исследовался в этой статье, заключался в том, всегда ли она стремилась к нулю в термодинамическом пределе. Когда это произойдет, как они пришли к выводу,$d=1$и$2$, то все состояния в системе локализованы, и неважно, какие состояния заняты. В$d=3$(и выше) существует критическая мезоскопическая проводимость$g_c$выше которого система становится проводящей в термодинамическом пределе, а ниже - изолирующей. Это зависит от того, какие состояния заняты, а не только от гамильтониана. Это связано с тем, что гамильтониан имеет край подвижности, где состояния ниже некоторой критической энергии локализованы, а состояния выше него расширены.