Как эффект Мейснера объясняется теорией БКШ?

Суть в спонтанном нарушении симметрии от глобального $U(1)$к$\mathbb{Z}_2$и сопутствующая жесткость вездесущей когерентной фазы, до которой система ломается. Однако как микроскопическое действие, так и основное состояние БКШ (3) сверхпроводника обладают локальными $U(1)$калибровочная симметрия.

Под жесткостью я подразумеваю нечто, напоминающее возвращающую силу, ощущаемую при попытке согнуть или деформировать твердую палку, которая, по сути, возникает из-за нарушения трансляционной симметрии в типичном кристаллическом твердом теле. Обратите внимание, что этот глобальный$U(1)$нарушение симметрии не противоречит теореме Элицура, запрещающей спонтанное нарушение локальной калибровочной симметрии. Значение этой фазы в основном состоянии сверхпроводимости не наблюдается (максимальная неопределенность), так как необходимо интегрировать по$\phi\in[0,2\pi)$чтобы восстановить сохранение частиц. Тем не менее его изменение в пространстве-времени, а следовательно, и жесткость, не только физически наблюдаемы, но и имеют решающее значение, особенно в эффекте Мейснера и эффекте Джозефсона.

Форма основного состояния БКШ (3) (приведенная в конце) говорит, что все куперовские пары с разными импульсами$\vec{k}$s имеют точно такую ​​же относительную фазу в паре$\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$, а именно упомянутая вездесущая когерентная фаза внутри всего сверхпроводника практически одинакова. Так работает разрыв$\Delta$в члене взаимодействия БКШ среднего поля$\Delta c^{\dagger}\left(x\right)c^{\dagger}\left(x\right)+\textrm{h.c.}$. Это также свидетельствует о нарушении симметрии до$\mathbb{Z}_2$только для этого$\{0,\pi\}$фазовое превращение$\{c,c^\dagger\}$делает термин инвариантным. (См. также этот хороший ответ , благодаря обсуждению с автором которого мне удалось исправить неточности в моем ответе.)

В сверхпроводящей фазе можно выбрать унитарную калибровку, чтобы поле Голдстоуна$\phi(x)=0$везде и обязательно придут к какому-то новому$A'_\mu$(однако физически ненужный, обладающий достоинством исчезновения мод Голдстоуна и отсутствия призрака Фаддеева-Попова). Или вместо этого можно заменить безмассовое калибровочное поле $A_\mu$вновь определенным некалибровочным векторным полем $-\frac{e^*}{c}A'_\mu\equiv \hbar\partial_\mu\phi-\frac{e^*}{c}A_\mu$при сохранении всех трех степеней свободы. Во всяком случае, новый$A'_\mu$явно массивна в эффективном лагранжиане. И похоже, что фотоны, связанные со сверхпроводником, подвергаются своего рода явному нарушению калибровочной симметрии и приобретают массу посредством этого абелева механизма Хиггса, который ограничивает дальнодействующее электромагнитное поле своего рода экспоненциально затухающим потенциалом Юкавы. Это не что иное, как эффект Мейснера, поясняемый ниже (1).

И, следовательно, строится макроскопическое когерентное квантовое состояние с фазовой жесткостью , как и в (3). Эквивалентно говоря, это явление, при котором квантово-механическая фаза достигает макроскопических размеров, что несколько естественно для бозонов (например, бозе-эйнштейновская конденсация и бозонная сверхтекучесть${}^4\mathrm{He}$), и удивительным образом достигается за счет образования куперовских пар фермионов.

Если вам нужны дополнительные расчеты

• Жесткость диктует эффект Мейснера. Как известно, в присутствии электромагнитного поля (неважно, проникающего или обычного) волновая функция приобретает вид Ааронова-Бома$U(1)$фаза$\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$, где неинтегрируемая фаза$\chi=\int{A_\mu\mathrm{d}x^\mu}$может, в общем, быть зависимым от пути. Что, если эта система обладает некоторой жесткостью этого распределения угла закручивания$\chi(x)$? По аналогии со скручиванием или искажением твердого тела макроскопический член$\int{\frac{1}{2}\kappa(\nabla\chi)^2\mathrm{d}V}$возникает в свободной энергии этой системы. Более подробный анализ теории БКШ действительно дает вам увеличение свободной энергии (см. последний раздел этого ответа).

  $$\Delta G=e^2\frac{\rho}{2m}\int{A^2}\mathrm{d}V,$$ где электронная плотность$\rho=\langle\psi^*(x)\psi(x)\rangle$(спиновыми степенями свободы временно пренебрегают). И в результате этого получаем одно из уравнений Лондона $$\vec{j}_d=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=-e^2\frac{\rho}{m}\vec{A},\tag{1}$$ который является известным$j\propto A$связь. В сочетании с уравнением Максвелла$\vec{j}=\nabla\times\vec{H}$(предоставил$\vec{A}$не имеет временной зависимости), можно легко получить экспоненциальное затухание$\vec{A}$или$\vec{B}$внутри сверхпроводника, то есть эффект Мейснера обязательно требуется этой жесткостью. В двух словах, сверхпроводимость служит механизмом, который противостоит генерации фазы Ааронова-Бома из-за проникающего электромагнитного поля.

• Почему диамагнитный ток сохраняется? В квантовой механике электрический ток равен парамагнитному току, вычтенному из диамагнитного тока.

  $$\vec{j}=\vec{j}_p+\vec{j}_d\equiv [\frac{1}{2m}(\psi^*\hat{\vec{p}}\psi-\psi\hat{\vec{p}}\psi^*)]+[-\frac{q}{m}\vec{A}\psi^*\psi].\tag{2}$$
  1. В нормальном состоянии наличие$\vec{A}$также увеличивает свободную энергию, однако относительно банальным образом, т. е.$\Delta G=\frac{1}{2}\chi\int{(\nabla\times\vec{A})^2\mathrm{d}V}$. Вместе с уравнениями Максвелла сохраняется только небольшой диамагнитный ток Ландау.$\vec{j}=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=\nabla\times\vec{M}$, где$\vec{M}$— местная намагниченность. Это потому, что$\vec{j}_p$и$\vec{j}_d$в уравнении (2) отменяют друг друга, что легко проверить, как только вы заметите, что$\psi$содержит вышеупомянутую фазу Ааронова-Бома$\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$.
  2. С другой стороны, в сверхпроводящей фазе такой компенсации нет . Парамагнитный ток$\vec{j}_p$очевидно, содержит некоторую пространственную производную фазы в$\psi(x)$, т. е. своего рода деформация волновой функции. Однако такое скручивание, безусловно, энергетически невыгодно из-за ранее обсуждавшейся жесткости. Оглядываясь назад, можно даже подумать, что это небрежно — жесткость отталкивает.$\vec{A}$вне, нет$\vec{A}$нет фазы Ааронова-Бома в$\psi$,$\vec{j}_p=0$следовательно. Во всяком случае, диамагнитный ток$\vec{j}_d$в (1) прекрасно сохраняется в конце. (Частично отменяется ненулевым$\vec{j}_p$когда$0<T<T_c$на самом деле.)

• Теория БКШ предлагает микроскопический механизм, обеспечивающий эту жесткость.

  1. С теоретико-полевой точки зрения теории БКШ мы можем ввести вспомогательные бозонные поля$\Delta\equiv |\Delta(x)|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(x)},\bar{\Delta},\varphi$чтобы выполнить преобразование Стратоновича-Хаббарда на действие БКШ$S$. После этого часть действия гласит$\frac{1}{2m}\sum_\sigma{\int{(\nabla\theta(x))^2\bar{\psi}_\sigma(x)\psi_\sigma(x)\mathrm{d}V}}$, в которой$\psi$исходное фермионное поле, в котором явно проявляется жесткость фазы$\theta$. Действительно,$\Delta$соответствует сверхпроводящей щели или параметру порядка. Далее, после утомительных манипуляций и приближений построить эффективную низкоэнергетическую теорию$\varphi$и$\theta$, мы можем непосредственно вычислить, чтобы показать, что корреляционная функция плотности парамагнитного тока$\langle j_p^\alpha(x)j_p^\beta(0)\rangle$исчезает , когда$T=0$, что несомненно подтверждает наше предыдущее обсуждение в разделе 2. Можно даже видеть, что это связано с существованием разрыва$\Delta$.
  2. Для подключения вышеуказанной фазы$\theta$из$\Delta$с фазой волновой функции мы могли бы обратиться к основному состоянию БКШ $$\vert\Psi_{\mathrm{BCS}}(\phi)\rangle=\prod_{\vec{k}}{(|u_{\vec{k}}|+|v_{\vec{k}}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}c_{\vec{k}\uparrow}^\dagger c_{-\vec{k}\downarrow}^\dagger)\vert 0\rangle}.\tag{3}$$ Либо в исходном вариационном расчете BCS, либо в подходе преобразования Боголюбова эта относительная фаза$\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$всегда напрямую связан с зазором$\Delta$из-за$\Delta_\vec{k}^*v_\vec{k}/u_\vec{k}\in \mathbb{R}$. На этом этапе можно еще раз сказать, что волновая функция становится твердотельной и деформация не возникает, поэтому$\vec{j}_p$не возникает.

Во всех теориях (Лондона, Гинзбурга-Ландау, Бардина-Купера-Шриффера, Боголюбова-Генна) эффект Мейснера рассматривается как определяющее соотношение$j\propto A$: ток пропорционален векторному потенциалу. (Коэффициент пропорциональности зависит от системы единиц, поэтому забудем об этом здесь.)

Для феноменологической теории Лондона это отношение выбрано для проверки отношения Мейснера и названо (конститутивным) отношением Лондона в его честь. В полуфеноменологической теории а-ля Гинзбург-Ландау это калибровочная структура в дополнение к фазовому переходу, которая обеспечивает пропорциональность между$j$и$A$.

В микроскопической теории это соотношение немного фальшивое, поскольку уравнение Шрёдингера уже имеет такую ​​структуру. Напомним, что ток$j\propto \Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)+A\left|\Psi\right|^{2}$в (первой квантованной) квантовой механике. Итак, вам нужно показать, что парамагнитный вклад ($j_{P}\propto\Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)$) исчезает в сверхпроводнике, и только диамагнитный вклад$j_{D}\propto A\left|\Psi\right|^{2}$выживает. Обратите внимание, что в теории Гинзбурга-Ландау парамагнитный член исчезает из-за «калибровочного выбора». В современной терминологии этот «калибровочный выбор» называется механизмом Андерсона-Хиггса. Из микроскопической теории можно доказать, что парамагнитный вклад исчезает.

Все расчеты кристально чисты в оригинальной статье

Дж. Бардин, Л. Н. Купер, Дж. Р. Шриффер, Теория сверхпроводимости , физ. 108, 1175 (1957) .

который доступен бесплатно с веб-сайта редактора. См. особенно раздел V. Электродинамические свойства .

Коэффициент пропорциональности между$j$и$A$имеет какое-то отношение к длине проникновения Лондона$\Lambda$:$j\propto A/\Lambda$(действительно только для некоторых сверхпроводников, соответствующие подробности см. в документе BCS). Эта длина проникновения может быть непосредственно измерена и пропорциональна амплитуде зазора, сверхпроводящему параметру порядка. Именно правильное предсказание общих трендов длины проникновения послужило (одним из) основанием для проверки теории БКШ.

На самом деле, что BCS доказала, так это то, что$\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$так как они рассматривали низкоэнергетический сектор. Из выражения тока первого квантования преобразование Фурье показывает, что$\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$в целом, поэтому кажется, что эффект Мейснера является общим свойством квантовых систем. Итак, вопрос: действительно ли нам нужна БКШ, чтобы понять сверхпроводимость? Ответ однозначно да , и причина следует. В квантовой теории поля только бозоны имеют такое шредингеровское выражение для тока. Короче говоря, эффект Мейснера — естественный эффект для бозонов. Вывод: что действительно фундаментально для сверхпроводимости, так это не$j\propto A$отношение (поскольку оно всегда справедливо для любых бозонных систем в пределе$q\rightarrow 0$), но понять, как фермионная жидкость ведет себя как бозонная!?! Короче говоря, эффект Мейснера — это просто естественное следствие конденсации куперовских пар, которые (более или менее) являются бозонами. Что важно для теории БКШ, так это рассмотрение среднего поля эффекта Купера, который превращает фермионы в бозоны.

Пожалуйста, сообщите мне, если вам нужна дополнительная информация. Я считаю, что документ BCS действительно педагогичен, но, пожалуйста, не стесняйтесь запрашивать дополнительные подробности.

@FraSchelle Я думаю, что понимаю (в некоторой степени) основы массового создания фотонов в SC (через механизм Хиггса), как вы представили ... Однако я хотел бы спросить ... есть ли вероятность того, что, поскольку лазерный луч является бозонный конденсат, нарушает ли он симметрию (аналогично) и, что более важно, есть ли какая-то возможность для массивных фотонов из-за механизма Хиггса. ? Если нет, то почему? Спасибо; Гэри

Я сомневаюсь в каком-либо объяснении эффекта Мейснера в сегодняшней формулировке пц-теории БКШ.

1. Старый proof'' just shows in bulk, that if there is anпритягивающий потенциал коррелирует электроны с противоположным спином и импульсом, затем в стабильной симметрии, нарушающей равновесную фазу, с аномальными средними значениями.$<a_{k,,+1/2}a_{k,-1/2}>\neq0$коэффициент$\kappa(k)$в линейной зависимости между фурье-образами средней поперечной плотности тока и поперечным векторным потенциалом$\tilde{\vec{j}}(k)_{\perp}=\kappa(k)\tilde{\vec{A}(k)}_{\wr\perp}$коэффициент$\kappa(k)$положительный в$k=0$. Рассматриваемый здесь векторный потенциал (в теории, основанной только на кулоновском взаимодействии заряженных частиц) следует интерпретировать как поле ПК. Однако, если имеет место эффект Мейснера, то в массе обе части тождественно равны нулю, и это соотношение ничего не доказывает.

2 . Обычно сравнивают второе уравнение Лондона в равновесии:$\nabla^{2}\vec{B}-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{B}=0$с уравнением Дебая в равновесии для проникновения ск электрического потенциала в полупроводник$\nabla^{2}V-\frac{1}{\lambda^{2}}V=0\quad$.

Чтобы получить это уравнение в полупроводнике, нужно начать с уравнения Пуассона:$\nabla^{2}V=-4\pi\rho$и выводит локальную связь$\rho(x)=-\frac{1}{4\pi\lambda^{2}}V(x)\quad.$

Такое соотношение может быть получено либо в предположении классического распределения Максвелла для$V/k_{B}T<<$, или с помощью аргумента квантово-механического линейного отклика о короткодействующих корреляциях даже в окрестности, меньшей, чем$\lambda$на поверхность. После этого определяют внешнее поле вне полупроводника как$V_{ext}(x)=-xE$и накладывает уравнение непрерывности для производной потенциала, перпендикулярного поверхности. Это приводит к экранированию Дебая.

Теперь, в то время как уравнение Боголюбова-де Жена (с контактным потенциалом!) предлагает описание на поверхности, никакие аргументы не могут оправдать локальную связь$\vec{j}_{\perp}(x)=-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{A}(x)$для расстояний ниже$\Lambda$с поверхности. Действительно, если не считать колоссальных усилий по вычислению среднего sccurrent, связанного с sc векторным потенциалом в окрестности поверхности (ни разу не встречал в литературе), вряд ли это будет короткодействующий, так как фазовые переходы обычно сопровождаются дальнодействующими корреляциями .

Если кто-то знает ответ на эти проблемы, я был бы рад узнать об этом.

Добавлено примечание:

* Четкую формулировку причины неспособности современных теорий сверхпроводимости объяснить эффект Мейснера можно найти в недавней книге [1]. Хотя все согласны с тем, что магнитное поле, создаваемое электронами, является существенным (полностью противоположным приложенному полю), магнитное поле в этих теориях не является динамической переменной, поэтому оно не может быть изменено присутствием материи. Выход из этого тупика может быть реализован только при учете взаимодействия между токами (Био-Савара!), вытекающего из последовательного 1/c^2-приближения нерелятивистской КЭД на состояниях без фотонов. Кстати, вопреки частым утверждениям, гамильтониан не может быть инвариантным относительно калибровочных преобразований, кроме преобразования внешних полей!

[1] Ладислав Александр Баньяи, Сборник теории твердого тела, второе издание, Springer Nature (2020)*