Как рассчитать фазу Zak из численных волновых функций с произвольной фазой?

Вы можете сделать это так же, как вычисляются зарядовые центры Ваннье (см. статьи Вандербильта).

Предполагать$\mathcal{C}$какой-то закрытый путь в$\mathbf{k}$-пространство (например, 1D БЖ). Мы определим фазу Берри$n$группа вдоль$\mathcal{C}$как (обратите внимание на мнимую единицу, отсутствующую в вашем определении):

$$\gamma_n(\mathcal{C}) = \mathrm{i}\oint_{\mathcal{C}} \langle u_{n\mathbf{k}}|\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{k}}u_{n\mathbf{k}}\rangle.$$ Дискретную формулировку можно получить, используя, например, прямые разности и устраняя калибровочную инвариантность путем умного логарифмирования 1 + малых членов (или с помощью рассуждений о параллельном переносе). Если мы предположим, что путь дискретизирован на (не обязательно равноудаленные) $\mathbf{k}_i$шаги с $i=1,\ldots, N$и $\mathbf{k}_{N+1} \equiv \mathbf{k}_1$, конечный результат: $$\gamma_n(\mathcal{C}) = \mathrm{Im}\log \prod_{i=1}^N \langle u_{n\mathbf{k_i}}|u_{n\mathbf{k}_{i+1}}\rangle$$ Вы можете рассматривать это как произведение (т.е. суммирование фаз) $N$небольшие повороты фазы собственного вектора при его перемещении вдоль $\mathcal{C}$; в $\mathrm{Im}\log$-part просто выбирает фазу.

Если$\mathcal{C}$есть нестягиваемый путь в ЗБ вдоль вектора обратной решетки$\mathbf{G}$, желательно применить периодическую калибровку, и в этом случае можно было бы взять$u_{n\mathbf{k}_{N+1}}(\mathbf{r}) = u_{n\mathbf{k}_1}(\mathbf{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}$.

Z2Pack - это инструмент, который реализует это (в гораздо большей степени...). Это также хорошая отправная точка для дальнейшего чтения.