Матричное представление поворота относительно неканонического базиса

Ключевым моментом здесь является то, что столбцы матрицы преобразования являются образами базисных векторов, выраженными в «выходном» базисе. Если мы позвоним$(\mathbf a_1,\mathbf a_2)$основа$\mathcal B$, это означает, что столбцы матрицы$[T]_{\mathcal B}^{\mathcal B}$вращения являются$\mathcal B$-координаты$T\mathbf a_1$и$T\mathbf a_2$. То есть,

$$[T]_{\mathcal B}^{\mathcal B}=\begin{bmatrix} [T\mathbf a_1]_{\mathcal B} & [T\mathbf a_2]_{\mathcal B} \end{bmatrix}.$$ По определению, эти координаты являются коэффициентами линейных комбинаций $\mathbf a_1$и $\mathbf a_2$которые производят $T\mathbf a_1$и $T\mathbf a_2$. Тогда, используя ваши обозначения, $$[T]_{\mathcal B}^{\mathcal B}=\begin{bmatrix}\alpha&\gamma \\ \beta&\delta \end{bmatrix}$$ где элементы матрицы являются решениями системы уравнений $$\begin{align} \alpha+\beta &= c \\ \beta &= s \\ \gamma+\delta &= c-s \\ \delta &= c+s \end{align}$$ что вы настроили.

Вы можете убедиться, что получили правильный ответ, вычислив эту матрицу, используя обычную формулу изменения базы. Вызов стандартного базиса$\mathcal E$,

$$\begin{align} [T]_{\mathcal B}^{\mathcal B} &= [id]_{\mathcal B}^{\mathcal E} \, [T]_{\mathcal E}^{\mathcal E} \, [id]_{\mathcal E}^{\mathcal B} \\ &= ([id]_{\mathcal E}^{\mathcal B})^{-1} \, [T]_{\mathcal E}^{\mathcal E} \, [id]_{\mathcal E}^{\mathcal B} \\ &= \begin{bmatrix}[\mathbf a_1]_{\mathcal E}&[\mathbf a_2]_{\mathcal E} \end{bmatrix}^{-1}\,R\,\begin{bmatrix}[\mathbf a_1]_{\mathcal E}&[\mathbf a_2]_{\mathcal E} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}c-s&-2s\\s&c+s\end{bmatrix}. \end{align}$$ Эти матричные умножения и обращения — просто другой способ решения системы линейных уравнений для координат точки. $T\mathbf a_1$и $T\mathbf a_2$.

Рассмотрим эти два уравнения из вопроса:

$$\begin{align} \begin{bmatrix} c \\ s \end{bmatrix} &= \alpha \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \tag1\\ \begin{bmatrix} c-s \\ c+s \end{bmatrix} &= \gamma \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \delta \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. \tag2 \end{align}$$

По сути, это линейная система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными. И вы, безусловно, можете решить ее так, как вы это сделали.

Другой способ записи уравнений$(1)$и$(2)$вместе это

$$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix}.$$ Следует, что $$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \tag3$$ для любых действительных чисел $x,y.$

Обратите внимание, что матрица в левой части уравнения — это матрица, которая преобразует координаты вектора относительно базиса$\mathbf a_1, \mathbf a_2$в координаты повернутого вектора относительно основания$\mathbf e_1, \mathbf e_2$. То есть, если у нас есть вектор$\mathbf v = x \mathbf a_1 + y \mathbf a_2,$и вращение этого вектора дает$\mathbf v',$тогда координаты$\mathbf v'$в стандартном базисе даются

$$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$$

Матрица$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$с другой стороны, преобразует координаты вектора относительно базиса$\mathbf a_1, \mathbf a_2$в координаты того же вектора относительно базиса$\mathbf e_1, \mathbf e_2$, не поворачивая его. Так что если$\mathbf v' = x' \mathbf a_1 + y' \mathbf a_2,$затем

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}.$$ дает координаты $\mathbf v'$в канонической основе. То есть, $$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}. \tag4$$

Но матрица$T$для поворота относительно основания$\mathbf a_1, \mathbf a_2$это просто матрица, на которую мы умножаем любой$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$чтобы получить соответствующий$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}.$То есть,

$$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$$ Выполнение этой замены в уравнении $(4),$мы получаем $$\begin{bmatrix} c & c-s \\ s & c+s \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}. \tag5$$

Теперь сравните уравнение$(5)$с уравнением$(3).$Одно уравнение имеет матрицу$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix}$где у другого$T$; в противном случае уравнения идентичны. И уравнение$(3)$выполняет именно ту работу, которую мы хотим.$(5)$делать. Таким образом, представляется вероятным, что матрица$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix}$является подходящим представлением$T.$

Чтобы на самом деле доказать, что$T = \begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix},$вы можете умножить обе части уравнения$(3)$и$(5)$слева от матрицы$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$Это преобразовало бы координаты в левой части любого уравнения обратно в координаты относительно базиса$\mathbf a_1, \mathbf a_2,$при преобразовании правой части$(3)$к$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}.$Вы сказали, что не хотите использовать обратные матрицы; относится ли это к методу нахождения вращения или к методу и доказательству метода? Возможно, есть способ провести доказательство, не ссылаясь на существование обратной$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$но я не пробовал.

Вы должны выразить$Ta_1$по форме$\alpha a_1+\beta a_2$и выразить$Ta_2$как$\gamma a_1+\delta a_2$. Тогда матрица из$T$в отношении$\{a_1,a_2\}$является$\left(\begin{smallmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{smallmatrix}\right)$.

Есть еще один способ сделать это. Позволять

$$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},$$ что является изменением базовой матрицы от $\{a_1,a_2\}$к $\{e_1,e_2\}$. Тогда матрица, которую вы ищете, $$B^{-1}.\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}.B=\begin{pmatrix}c-s&-2s\\s&c+s\end{pmatrix},$$ что (неудивительно) та же матрица, что и у вас.