Остаются ли сложные векторы на плоскости при вращении?

Спасибо за прочтение.

Я пытаюсь лучше понять, как матрицы вращения работают с комплексными векторами.

Скажем, у нас есть матрица вращения:

$R_\theta =\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \ -sin(\theta) \\ \sin(\theta)& \cos(\theta) \end{bmatrix}$

Это вращает вектор с действительным знаком на декартовой плоскости на$\theta$градусов.

Итак, если у нас есть вектор$\vec{v}$, и мы вычисляем$R_\theta \vec{v}$, выход$\vec{v}$но повернут на$\theta$градусов против часовой стрелки.

Впрочем, теперь скажи$\vec{v}$допускается наличие сложных компонентов.

Если$\vec{v}$в$\mathbb{C}^2$, то мы можем представить его реально существующим в$4D$пространство, где есть настоящий$X$направление, настоящее$Y$направление, воображаемое$X$направление и воображаемое$Y$направление.

скажем$\vec{v}=\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$, или что-то вроде того. Дело в том, что его компоненты только реальны — он существует целиком на реальном$(X,Y)$самолет.

Когда мы вращаемся$\vec{v}$на любую сумму, он останется на реальном$(X,Y)$самолет. Он никогда не будет вращаться ни в одном из воображаемых измерений.

Аналогично, скажем$\vec{v}=\begin{bmatrix} 2i\\ 3i \end{bmatrix}$.

Теперь еще раз, когда мы вращаемся$\vec{v}$на любую сумму, умножив ее на$R_\theta$слева, он останется на воображаемом $(X,Y)$самолет. Он никогда не будет вращаться ни в одном из реальных измерений.

Но теперь скажи$\vec{v}=\begin{bmatrix} (1+i)\\ (3) \end{bmatrix}$.

...или что-то вроде того. Дело в том, что это$x$и$y$компоненты сами имеют как действительные , так и мнимые компоненты.

Будет ли вращение (умножение на$R_\theta$слева) еще держать$\vec{v}$на какой-то плоскости, причем оси этой плоскости указывают на некоторую комбинацию воображаемого и действительного направлений?

Если это так, как мы можем узнать, что это за самолет?

Что я сделал до сих пор:

У меня возникает соблазн ответить «да» на мой вопрос, и вот почему.

Когда у нас есть вектор

$\vec{v}=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

и мы поворачиваем его на$90^0$, мы получаем$\vec{v}=\begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$

$\vec{v}=\begin{bmatrix} -b\\ a \end{bmatrix}$и$\vec{v}=\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix}$

являются ортогональными направлениями, которые очень ясно можно было бы использовать для определения осей некоторой плоскости.

Если$a$и$b$оба были настоящими, то это совершенно очевидно было настоящим$(X,Y)$плоскости, и поворот на ЛЮБОЙ угол сохранил бы вектор в этой плоскости.

Теперь, скажем, у нас есть...$\vec{v}=\begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}$.

...или нечто подобное, где его компоненты имеют как мнимую, так и действительную части, и мы умножаем$\vec{v}$матрицей вращения, которая соответствует вращению на$90^0$:

$\begin{bmatrix} \cos(90) & \ -sin(90) \\ \sin(90)& \cos(90) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -(1+4i)\\ (2+3i) \end{bmatrix}$

Эти ортогональные направления,$\begin{bmatrix} -(1+4i)\\ (2+3i) \end{bmatrix}$и$\begin{bmatrix} (2+3i)\\ (1+4i) \end{bmatrix}$также может определять некоторую плоскость.

Однако мне непонятно, что поворот на угол меньше$90^0$сохранил бы$\vec{v}$на том самом самолете...

Было бы это?

Спасибо!

(Если мой вопрос не ясен, пожалуйста, оставьте комментарий!)