Мгновенное кулоновское взаимодействие в КЭД

Мне кажется, что в книге опечатка. Ваше исходное уравнение должно быть следующим:

$$\begin{equation} T_{fi} = -i\int \frac{d\omega \,d^{3}\textbf{q}}{(2\pi)^{4}} \tilde{A}(\textbf{q},\omega)\tilde{B}(-\textbf{q},-\omega) \frac{1}{|\textbf{q}|^{2}}, \end{equation}$$ где $\tilde{A}$обозначает преобразование Фурье $A$. Затем, используя $$\begin{equation} \tilde{f}(\textbf{q},\omega) = \int dt\, d^{3}\textbf{x} \,f(\textbf{x},t)\, e^{-i(\textbf{q}\cdot \textbf{x}-\omega t)} \end{equation}$$ приведет к желаемому результату.

Я подозревал, что нужно вернуться к определению токов, и действительно, при этом можно получить результат. Вот короткая версия.

Электронный ток определяется как [см. уравнение (6.6) в 1 ]

$$\tag{1}J_\mu(x) = -e\bar{u}_f\gamma_\mu u_i \times\mathrm{exp}[(p_f-p_i)\cdot x]$$ что мы пишем как $$\tag{2}J_\mu(x) = j_\mu\mathrm{exp}[(p_f-p_i)\cdot x].$$

Нам также нужно будет использовать

$$\tag{3}q = p_i^A-p_f^A = p_f^B-p_i^B$$

Тогда интеграл$(1)$в исходном посте можно написать

$$\tag{4} T_{fi} = -i\int \!dt_Ad^3x_A d^3x \,\, j^Aj^B e^{i(p_f^{A0}-p_i^{A0})t_A}e^{i(p_f^{B0}-p_i^{B0})t_A}\frac{1}{|\vec{x}|}e^{i\vec{q}\cdot\vec{x}}.$$

Теперь смещение$\vec{x}=\vec{x}_B-\vec{x}_A$с$d^3x=d^3x_B$и используя$(3)$и

$$(\vec{p}_f^A-\vec{p}_i^A)\cdot(\vec{x}_B-\vec{x}_A) = -(\vec{p}_f^B-\vec{p}_i^B)\cdot\vec{x}_B-(\vec{p}_f^A-\vec{p}_i^A)\cdot\vec{x}_A,$$

уравнение$(4)$становится

$$\tag{3} T_{fi} = -i\int \!dt_A\int d^3x_A\int d^3x_B \, \frac{J_0^A(t_A,\vec{x}_A)\,J_0^B(t_A,\vec{x}_B)}{4\pi|\vec{x}_B-\vec{x}_A|},$$ где $J_0^A(t_A,\vec{x}_A)$соответствует ОП $A(t_A,\vec{x}_A)$и так далее.

---

Ссылки: См. Приложение Дж. Х. Филда, Классический электромагнетизм как следствие закона Кулона, специальной теории относительности и принципа Гамильтона и его связи с квантовой электродинамикой.