Как кулоновский потенциал связан с пропагатором?

Основываясь на этом вопросе и ответах, мы видим, как древовидная амплитуда позволяет нам связать голый фотонный пропагатор с кулоновским потенциалом, используя в основном только борновское приближение и нерелятивистский предел.

Я хотел немного расширить это, чтобы сделать то же самое с одетым пропагатором, чтобы иметь возможность расширять его по порядку и получать поправки к кулоновскому потенциалу.

Если на то пошло, я рассмотрел процесс t-канала е − ( п 1 ) е − ( п 2 ) → е − ( п 3 ) е − ( п 4 ) но вместо голого пропагатора я использовал одетый пропагатор.

Применяя правила Фейнмана, я получаю амплитуду:

я М "=" ( − я е ) ты ¯ ( п 3 ) γ мю ты ( п 1 ) г мю ν ( п 1 − п 3 ) ( − я е ) ты ¯ ( п 4 ) γ ν ты ( п 4 ) .

Теперь я использую нерелятивистский предел. Поскольку у нас есть

ты ( п ) "=" ( п ⋅ о ξ п ⋅ о ¯ ξ )

если м >> | п | у нас есть п 0 "=" м 2 + | п | 2 ≈ м и п ⋅ о "=" п 0 + п ⋅ о → ≈ м . С этим я получаю

ты ( п ) "=" м ( ξ ξ ) , ты ¯ ( п ′ ) "=" м ( ξ ξ ) † γ 0

таким образом, у нас есть

я М "=" ( − я е ) 2 м 2 ( ξ с ′ ξ с ′ ) † γ 0 γ мю ( ξ с ξ с ) ( ξ о ′ ξ о ′ ) † γ 0 γ ν ( ξ о ξ о ) г мю ν ( п 1 − п 3 )

Теперь я прочитал, что связь с г 00 поэтому все остальное должно исчезнуть. Я просто не понимаю, как это происходит. Я вижу, что если я все забуду и просто уйду г 0 0 результат становится очень простым

я М "=" − е 2 м 2 дельта с с ′ дельта о о ′ г 00 ( п 1 − п 3 )

но я не уверен, так как не знаю, как оправдать отказ от всего. Что касается приближения Борна, это похоже на то, что делается в другом вопросе.

Итак, как правильно получить М в нерелятивистском пределе, чтобы сравнить с приближением Борна и связать В к г ? Я сделал что-то не так? Нужно ли нам использовать пересуммированное выражение в терминах одночастичной неприводимой суммы?

Ответы (1)

Рассмотрим термин ты ¯ с ′ ( п ′ ) γ я ты с ( п ) , где я является пространственным индексом. В киральном представлении имеем

γ 0 γ я "=" ( 0 1 1 0 ) ( 0 о я − о я 0 ) "=" ( − о я 0 0 о я ) ,

так что

ты ¯ с ′ ( п ′ ) γ мю ты с ( п ) "=" м 2 ( ξ с ′ † ξ с ′ † ) ( − о я 0 0 о я ) ( ξ с ξ с ) "=" 0.

Таким образом, у нас есть

ты ¯ с ′ ( п ′ ) γ мю ты с ( п ) "=" м 2 дельта с с ′ дельта 0 мю .

Таким образом, мы получаем желаемый результат.

Что касается остальной части вашего вопроса, вам не нужно беспокоиться о диаграммах 1PI или о повторном суммировании ряда возмущений. Кулоновский потенциал является чисто древовидным результатом. Есть поправки к кулоновскому потенциалу, которые очень интересны (я рекомендую раздел 16.2 Квантовой теории поля Шварца и Стандартной модели или главу 6 этих конспектов лекций из класса, который я брал в Кембридже у Дэвида Скиннера для отличного обсуждения этого).

(Исходя из постановки вашей задачи, кажется, что вы круто переходите от этого результата к кулоновскому потенциалу. Если нет, оставьте комментарий, и я объясню и это.)

Надеюсь, это помогло!

Спасибо @BobKnighton, на самом деле это было намного проще, чем я ожидал. Между прочим, чтобы закончить его, я считаю, что должен сравнить с приближением Борна для рассеяния начального электрона в состоянии | п 1 , с ⟩ к конечному электрону в состоянии | п 3 , с ′ ⟩ по потенциалу. Я мог ошибиться с константами, но я получил В ^ ( п 1 − п 3 ) "=" е 2 г 00 ( п 1 − п 3 ) . Тогда я должен расширить г 00 чтобы получить исправления.
Есть одна тонкость, которую часто упускают: поскольку электронные состояния нормированы с коэффициентом 2 Е п в теории поля вы должны разделить их в борновском приближении. То есть в нерелятивистском пределе вы должны делить все, что получаете, на ( 2 м ) 2 . Это отменяет раздражающие факторы м 2 вы выходите вперед (хотя кажется, что вы уже избавились от них).
Как кулоновский потенциал связан с пропагатором?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v