Минимальная неопределенность

Question

Минимальная неопределенность

Храбрость

Я запутался в поиске условия минимальной неопределенности. Автор книги, на которую я ссылаюсь, продолжает говорить, что

$|g\rangle=c|f\rangle$

условие минимальной неопределенности

для некоторой константы $c$

Где $|f\rangle=(\hat{A}-\langle A\rangle)\psi$

и $|g\rangle=(\hat{B}-\langle B\rangle)\psi$

где $A$ и $B$ любые наблюдаемые

Это приемлемо из-за неравенства Шварца (поскольку оно становится равенством, когда угол между двумя векторами равен нулю), автор далее говорит, что это равенство получается, если

${\operatorname{Re}\langle f|g\rangle}={0}$

Я не понимаю, почему это должно быть условие, поэтому, если по мнению автора угол должен быть равен нулю, не должен

${\operatorname{Im}\langle f|g\rangle}$ быть равным ${0}$ ?

так как для любых переменных $a$ и $b$ аргумент $z=a+ib$ может быть нулевым, только если

$\tan^{-1}\frac{b}{a}=0$ что подразумевает $b=0$ или $\operatorname{Im}{z}=0$

Пожалуйста, помогите мне понять, любая помощь приветствуется

Тимей

Кажется совершенно неприемлемым , пусть c=1,

\hat{A} = \hat{B} = {\hat{σ}}_{z}

$\hat A=\hat B=\hat\sigma_z$ тогда вы утверждаете, что любое состояние является минимальной неопределенностью, но только собственные состояния

{\hat{σ}}_{z}

$\hat\sigma_z$ иметь минимальную (нулевую) неопределенность. И в этом примере нет ничего ортогонального. Кроме того, если разрешено c = 0, вы можете иметь минимальную неопределенность в B, но настолько большую неопределенность в A, насколько хотите.

Ответы (2)

Минимальная неопределенность

Кажется совершенно неприемлемым , пусть c=1, $\hat A=\hat B=\hat\sigma_z$ тогда вы утверждаете, что любое состояние является минимальной неопределенностью, но только собственные состояния $\hat\sigma_z$ иметь минимальную (нулевую) неопределенность. И в этом примере нет ничего ортогонального. Кроме того, если разрешено c = 0, вы можете иметь минимальную неопределенность в B, но настолько большую неопределенность в A, насколько хотите.

Мухсин ибн аль-Азиз · Answer 1

Обобщенный принцип неопределенности, связывающий два оператора $A$ и $B$ является

о_{А}^{2} о_{Б}^{2} \geq {(\frac{1}{2 я} ⟨ [А, Б] ⟩)}^{2}

$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq {\left( \frac{1}{2i} \langle\left[ A,B\right] \rangle\right)} ^2$ где

[A, B] = A B - B A

$[A,B]=AB-BA$ является коммутатором операторов. Это соотношение было получено с помощью двух неравенств. Первое — это неравенство Шварца, которое в скобочных обозначениях имеет вид

⟨ ф | ф ⟩ ⟨ г | г ⟩ \geq | ⟨ ф | г ⟩ |^{2}

$\langle{f|f}\rangle\langle{g|g}\rangle \geq |\langle {f|g}\rangle |^2$ Второе неравенство является условием на комплексное число

z = x + i y

$z=x+iy$ :

| г |^{2} \geq у^{2}

$|z|^2 \geq y^2$
Интересно посмотреть, что произойдет, если мы потребуем, чтобы эти два отношения были равенствами, а не неравенствами. Это даст нам условие на функции f и g, которое дает минимальную неопределенность между ними. В случае неравенства Шварца мы хотим

⟨ f | f ⟩ ⟨ g | g ⟩ = | ⟨ f | g ⟩ |^{2}

$\langle{f|f}\rangle\langle{g|g}\rangle =|\langle{f|g}\rangle |^2$ .

Чтобы понять, что из этого следует, мы можем изучить доказательство неравенства Шварца. Для этого введем функцию

| час ⟩ "=" | г ⟩ - \frac{⟨ ф | г ⟩}{⟨ ф | ф ⟩} | ф ⟩

$|h\rangle =|g\rangle -\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} |f\rangle$ с,

⟨ h | h ⟩ \geq 0

$\langle{h|h}\rangle \geq 0$ ,
взяв товар с собой,

⟨ час | час ⟩ "=" ⟨ г | г ⟩ - \frac{⟨ ф | г ⟩}{⟨ ф | ф ⟩} ⟨ г | ф ⟩ - \frac{⟨ г | ф ⟩}{⟨ ф | ф ⟩} ⟨ ф | г ⟩ + {(\frac{| ⟨ ф | г ⟩ |}{⟨ ф | ф ⟩})}^{2} ⟨ ф | ф ⟩ "=" ⟨ г | г ⟩ - \frac{| ⟨ ф | г ⟩ |^{2}}{⟨ ф | ф ⟩} \geq 0 ⟹ ⟨ ф | ф ⟩ ⟨ г | г ⟩ \geq | ⟨ ф | г ⟩ |^{2}

$\langle{h|h}\rangle =\langle{g|g}\rangle -\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} \langle{g|f}\rangle -\frac{\langle{g|f}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} \langle{f|g}\rangle +\left( \frac{|\langle{f|g}\rangle |}{\langle{f|f}\rangle}\right)^2\langle{f|f}\rangle\\ =\langle{g|g}\rangle -\frac{|\langle{f|g}\rangle |^2}{\langle{f|f}\rangle}\\ \geq 0\\ \implies \langle{f|f}\rangle \langle{g|g}\rangle \geq |\langle{f|g}\rangle |^2$
Для того чтобы это неравенство можно было заменить равенством, нам потребуется

| h ⟩ = 0

$|h\rangle =0$ . Таким образом, из определения имеем

| g ⟩ = \frac{⟨ f | g ⟩}{⟨ f | f ⟩} | f ⟩

$|g\rangle=\frac{\langle{f|g}\rangle}{\langle{f|f}\rangle} |f\rangle$ То есть неравенство Шварца превращается в равенство, если одна функция является скалярным кратным другой:

| g ⟩ = c | f ⟩

$|g\rangle=c|f\rangle$ где с, вообще говоря, комплексный скаляр. Второе неравенство является равенством, если x=0, так что z чисто мнимое. В нашем первоначальном выводе принципа неопределенности мы использовали

z = ⟨ f | g ⟩

$z=\langle{f|g}\rangle$ , поэтому, если мы требуем равенства, мы получаем

R e (z) = 0

$Re(z)=0$

[редактировать]:

Здесь $z=\langle{f|g}\rangle$ является мнимым, потому что для минимальной неопределенности нам нужно, чтобы комплексное число было чисто мнимым, как я уже говорил ранее. А также $|g\rangle =c|f\rangle$ . Таким образом, $z=c\langle{f|f}\rangle$ . С $\langle{f|f}\rangle$ всегда действительно, c должно быть комплексным числом.

Может быть, мне нужно переформулировать свой вопрос. Это довольно просто, если $c$ сложный тогда $Re(z)=0$ с $z=\langle{f|g}\rangle$ сложный, поэтому мой вопрос в основном сводится к тому, почему $c$ нужно комплексно.
@Vishwaas, я не могу тебя понять. $z$ является комплексным числом из-за равенства $|z|^2=y^2$ и отсюда следует, что число с должно быть комплексным. Взгляните на мою правку.
Я думаю, вы ходите по кругу, доказывая, что $c$ сложно, тем не менее я пришел к выводу, что $c$ должно быть сложным, потому что это самая общая форма, которую может принять число. Спасибо.

Храбрость · Answer 2

Кажется, я нашел ответ на свой вопрос

$|f\rangle$ и $|g\rangle$ определены в гильбертовом пространстве, которое является пространством со скалярным произведением, и одним из свойств этого пространства является

⟨ ф | ф ⟩ \geq 0

$\langle f|f \rangle \geq 0$

Так $\langle f|f \rangle$ должно быть реальным,

При выводе принципа неопределенности принимаем

(Ре (г))^{2} + (Я (г))^{2} \geq (Я (г))^{2}

$(\text {Re}(z))^2+(\text {Im}(z))^2 \geq (\text {Im}(z))^2$

где $z=\langle f|g\rangle$

Приведенное выше неравенство может быть равенством, когда $\text {Re}(z)=0$ , т.е. $\text {Re}(\langle f|g\rangle)=0$

Итак, мы берем $|f\rangle=c|g\rangle$ (из-за неравенства Шварца), что дает $\text {Re}(c\langle f|f\rangle)=0$ , с $\langle f|f \rangle$ реален (как сказано выше), $c$ должен быть сложным

Минимальная неопределенность

Храбрость

Тимей

Ответы (2)

Мухсин ибн аль-Азиз

Храбрость

Мухсин ибн аль-Азиз

Храбрость

Храбрость

Симметрия обращения времени в уравнении Шредингера и эволюция волнового пакета

Всегда ли растет неопределенность Гейзенберга относительно эволюции во времени?

Возможно ли, чтобы ΔxΔx\Delta x (σxσx\sigma_x) любого волнового пакета свободной частицы в любой момент времени уменьшалось?

Не работает ли принцип неопределенности Гейзенберга в случае двумерного жесткого ротора?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Можем ли мы с уверенностью предположить, что Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} всегда в QM?

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

В каких случаях целесообразно решать стационарное уравнение Шредингера?

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]