Не работает ли принцип неопределенности Гейзенберга в случае двумерного жесткого ротора?

Для частицы массы m, ограниченной плоскостью xy и совершающей круговое движение с фиксированным расстоянием до начала координат, r и полярным углом, θ поддерживается постоянной на 90 ∘ , уравнение Шредингера в сферических координатах упрощается до

− ℏ 2 2 я ∂ 2 Ψ ∂ ф 2 "=" Е Ψ

Нормализованные решения этого уравнения:

Ψ м "=" 1 2 π е я м ф

где м является целым числом.

Собственные значения, возвращаемые л г ^ и л 2 ^ операторы

л г ^ Ψ м "=" − я ℏ ∂ Ψ м ∂ ф "=" м ℏ Ψ м

л 2 ^ Ψ м "=" ( л ^ Икс 2 + л ^ у 2 + л ^ г 2 ) Ψ м "=" м 2 ℏ 2 Ψ м

Последнее уравнение предполагает, что величина углового момента равна м ℏ , что, в свою очередь, равно величине составляющей в направлении z, м ℏ . Однако оба значения могут быть одинаковыми только в том случае, если компоненты в Икс и у оба направления равны нулю, и в этом случае все три компонента углового момента частицы полностью определены. Но это, по-видимому, нарушает принцип неопределенности для углового момента, который гласит, что две ортогональные компоненты углового момента (например, л Икс ^ и л у ^ ) не может быть одновременно известно и измерено с произвольной точностью. Я хотел бы знать, есть ли что-то неправильное в моих рассуждениях здесь, и правильно ли вообще изложен этот пример.

«Однако оба значения могут быть одинаковыми только в том случае, если компоненты в направлениях x и y равны нулю» - почему? (Не рассуждайте классически, покажите это в квантовой механике!)
Я относительно новичок в этой области физики, поэтому я бы предпочел, чтобы вы простили меня за любые ошибки, которые я сделал в отношении квантово-механического формализма.
Более того, если ваше уравнение Шредингера содержит только ф , вы не можете использовать импульс л 2 . Говоря иначе, л 2 в основном лапласиан в сферических координатах, но ваши функции е я м ф не являются собственными функциями лапласиана.
@ZeroTheHero, ты можешь. Это просто уравнение в цилиндрических координатах после выбора ψ ( г ) "=" константа . и удаление р -зависимый фактор.
@ACuriousMind дал вам ответ, но на случай, если это поможет его прояснить: компоненты углового момента в Икс и у направления не коммутируют, поэтому они не могут быть четко определены одновременно. Поэтому они, конечно, не могут оба быть равными нулю.

Ответы (1)

Величина л не может быть м ℏ . Чтобы увидеть эту заметку, что когда вы говорите м а г н я т ты г е то, что вы действительно имеете в виду, является собственным значением. Ведь в квантовой механике то, что мы измеряем в конкретном эксперименте, есть собственное значение оператора. Плюс вы предположили, что Ψ м является собственным набором л . Я знаю это, потому что могу «доказать» ваше утверждение, выполнив следующие действия:

л 2 Ψ м "=" л ( л Ψ м ) "=" м ℏ л Ψ м "=" м 2 ℏ 2 Ψ м

Но все это не может быть правдой, потому что это означало бы, что л и л г оба имели одинаковые собственные схемы и, следовательно, должны коммутировать. Но это не правда, [ л , л г ] ≠ 0

Но не является ли собственное значение л 2 ^ оператор равен квадрату величины углового момента частицы?
Во-первых, величина векторов не имеет никакого смысла в квантовой механике, потому что величина требует, чтобы вы знали все три компонента операторов одновременно. Величина — это классическое понятие. Во-вторых, собственное значение л 2 является квадратом только в том случае, если у них есть одинаковые собственные наборы, но это не так. Не верите, напишите, что такое L с точки зрения операторов повышения и понижения и л г и вы увидите.
Не работает ли принцип неопределенности Гейзенберга в случае двумерного жесткого ротора?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v