Всегда ли растет неопределенность Гейзенберга относительно эволюции во времени?

Question

Всегда ли растет неопределенность Гейзенберга относительно эволюции во времени?

Физика
волновая функция
квантовая механика
уравнение Шредингера
симметрия обращения времени
Гейзенберг-принцип-неопределенности

Марек

Недавно было несколько интересных вопросов по стандартному QM и особенно по принципу неопределенности, и мне понравилось рассматривать эти основные концепции. И я понял, что у меня есть собственный интересный вопрос. Я думаю, ответ должен быть известен, но я не смог решить проблему самостоятельно, поэтому я надеюсь, что это не совсем тривиально.

Итак, что мы знаем об ошибке одновременного измерения при эволюции во времени? Точнее, всегда ли верно, что для $t \geq 0$

⟨ Икс (т)^{2} ⟩ ⟨ п (т)^{2} ⟩ \geq ⟨ Икс (0)^{2} ⟩ ⟨ п (0)^{2} ⟩

$\left<x(t)^2\right>\left<p(t)^2\right> \geq \left<x(0)^2\right>\left<p(0)^2\right>$ (здесь аргумент

(t)

$(t)$ обозначает ожидание в развитом состоянии

ψ (t)

$\psi(t)$ , или, что то же самое, для оператора в изображении Гейзенберга).

Я пытался получить общие оценки из уравнения Шредингера и разложения на собственные энергетические состояния и т. д., но я не вижу никакого способа доказать это. Я знаю, что это утверждение верно для свободного волнового пакета Гаусса. В этом случае мы фактически получаем равенство (поскольку пакет остается гауссовым и потому что он минимизирует HUP). Я считаю, что на самом деле это лучшее, что мы можем получить, и для других распределений мы получили бы строгое неравенство.

Итак, резюмируя вопросы

Верно ли утверждение?

Если да, то как это доказать? И есть ли интуитивный способ увидеть, что это правда?

Скливвз

Как вы думаете, почему это применимо? Вы не можете провести измерение таким образом (либо вы измеряете на

t = 0

$t=0$ или на

t = T

$t=T$ , но никогда оба), так что у вас в основном есть два разных

ψ

$\psi$ решения. Оба будут подчиняться принципу независимо. Я неправильно понимаю ваш вопрос?

пользователь346

Если ваш волновой пакет, во-первых, насыщает границу неопределенности (т. е. является когерентным состоянием), то это тривиально верно - когерентные состояния остаются когерентными при эволюции во времени. Если ваше начальное состояние не является когерентным состоянием, тогда эволюция явно более сложная, но в этом случае вы можете расширить свое произвольное начальное состояние в основе когерентного состояния, чтобы это неравенство (как установлено для когерентных состояний) все еще можно было использовать, компонент за компонентом, чтобы показать, что это остается верным для произвольного состояния. Или, возможно, нет. Пыхни и включи, детка, пыхни и включи.

Марек

@Sklivvz: с этим нет проблем. Частице по-прежнему необходимо удовлетворять HUP в каждый момент времени, даже если вы не измеряете ее; Я просто хочу сделать это утверждение количественным. Если это поможет, подумайте об этом как о чисто математической задаче.

Марек

@Deepak: хорошая идея. Я знаю, что когерентные состояния полезны для гармонического осциллятора, и я полагаю, что его возмущения тоже. А как насчет общей системы? Всегда ли присутствуют когерентные состояния?

Скливвз

@Marek, я понимаю, однако твое утверждение сильнее, чем HUP, не так ли?

Марек

@Sklivvz: хм, не особо сильнее. Он независим, но (если он верен) дает дополнительную информацию о поведении неопределенности.

Рой Симпсон

@Marek, когерентные состояния не обязательно должны «присутствовать», чтобы использовать их в расчетах, ориентированных на основу. Помните, что CS образуют сверхполный базис гильбертова пространства.

пользователь566

Я не думаю, что это утверждение верно. Поместите волновой пакет минимальной неопределенности в t=0. Какова была неопределенность до этого, при t<0? он был больше, поэтому он уменьшался до t = 0. В более общем смысле, вы не можете вывести асимметричные во времени утверждения из законов симметрии во времени.

Марек

@Roy: поправьте меня, если я ошибаюсь, но я предположил, что когерентные состояния - это особые состояния, которые каждый раз удовлетворяют определенному условию (а именно, минимизации HUP). Очевидно, что это условие зависит от точного гамильтониана, и для меня не очевидно, что такие состояния всегда можно найти. Возможно, вы говорите о CS гармонического осциллятора? Если да, то как они мне помогают? Они, конечно, не сохраняются эволюцией при произвольном гамильтониане.

Марек

@Moshe: в вашем аргументе есть лазейки: минимума для данной системы может не быть (просто инфимум), а если есть минимум, он может сохраниться в эволюции (как для свободного гауссова). Тем не менее, хорошая идея, и я попытаюсь использовать ее, чтобы найти контрпример в какой-нибудь простой системе. Что касается второго утверждения: да, я уверен, вы скажете мне, что мы тоже не можем получить второй закон... шучу, я не хочу влезать в эту дискуссию, которая заставила Больцмана покончить с собой :)

пользователь566

@Marek, в любом примере вы можете решить уравнение Шредингера, вы обнаружите, что интересующая вас величина растет от t = 0 как в прошлое, так и в будущее, это гарантируется симметрией. Что касается общего утверждения, то оно верно и для второго закона. Вы не можете вывести выводы о временной асимметрии из законов временной симметрии без дополнительных входных данных, это просто базовая логика, не имеющая ничего общего с физикой. Вся дискуссия заключается в том, что это за дополнительный вклад и где он появляется.

Рой Симпсон

@Marek, я еще не пробовал расчет, предложенный Дипаком (слишком много Stack Q для обзора), но это только основа. Базисные векторы x являются дельта-функциями положения, p - дельта-базисом импульса (с заданной долей каждого значения для

Ψ

$\Psi$ ), а также основу CS. Проблема в том, что он переполнен, поэтому это может вызвать проблемы, т.е.

Ψ (t) = a 1 (t) C S 1 + a 2 (t) C S 2 + . . .

$\Psi(t) = a1(t)CS1 + a2(t)CS2 + ...$ .

Марек

@Moshe: хорошие моменты, спасибо. @Roy: Я понимаю, что это некоторый набор векторов, охватывающих гильбертово пространство, но вопрос в том, как они определяются для общей системы? Всегда одинаково (т.е. как «собственные состояния» операторов уничтожения) или в зависимости от гамильтониана? Я никогда не сталкивался с ними, кроме стандартного класса QM, когда говорил о гармоническом осцилляторе, поэтому я понятия не имею об общей ситуации.

Саймон

@Marek: Есть много способов обобщить когерентные состояния на негармонические системы. 1) Когерентные состояния оператора уничтожения. 2) Когерентные состояния группы динамической симметрии (класс смежности G/H, где H — группа устойчивости реперного вектора). 3) Минимальные (и равные) состояния неопределенности. 4) Обобщенное когерентное состояние Клаудера... Все определения гармонического осциллятора совпадают и могут быть расширены для получения обобщенных сжатых состояний. Defn 3) может быть нестабильным во времени, в зависимости от того, какие наблюдаемые вы минимизируете. См. также nLab

Марек

@Simon: очень интересно, я понятия не имел, что существует так много определений. Не могли бы вы также упомянуть некоторые полезные приложения (если вы их знаете)?

Саймон

@Marek: На самом деле я не из тех, кто спрашивает о приложениях ... Клаудер (и другие) использует их для своего альтернативного подхода к интегралам по путям и квантованию. Последняя треть книги Перелемова посвящена физическим приложениям. Вы можете посмотреть содержание, чтобы увидеть, что.

Саймон

@Marek: я смотрел на этот материал много лет назад как проект 4-го года - и единственное приложение, на которое я действительно смотрел, было приближением классических решений. Теперь, оглядываясь назад, я понимаю намного больше и вижу, что есть некоторые вещи, связанные с моей текущей работой, на которые мне действительно следует обратить внимание...

пользователь346

Лично я считаю, что книга Али, Антуана и Газо — отличный справочник по связным состояниям. Одних первых нескольких страниц достаточно, чтобы дать большинству людей все, что им нужно для работы с когерентными состояниями. Что касается приложений, сжатые состояния (обобщения когерентных состояний) часто используются в космологии , в частности, для решения вопросов о появлении классичности после инфляции.

Ответы (6)

Всегда ли растет неопределенность Гейзенберга относительно эволюции во времени?

Как вы думаете, почему это применимо? Вы не можете провести измерение таким образом (либо вы измеряете на $t=0$ или на $t=T$ , но никогда оба), так что у вас в основном есть два разных $\psi$ решения. Оба будут подчиняться принципу независимо. Я неправильно понимаю ваш вопрос?
Если ваш волновой пакет, во-первых, насыщает границу неопределенности (т. е. является когерентным состоянием), то это тривиально верно - когерентные состояния остаются когерентными при эволюции во времени. Если ваше начальное состояние не является когерентным состоянием, тогда эволюция явно более сложная, но в этом случае вы можете расширить свое произвольное начальное состояние в основе когерентного состояния, чтобы это неравенство (как установлено для когерентных состояний) все еще можно было использовать, компонент за компонентом, чтобы показать, что это остается верным для произвольного состояния. Или, возможно, нет. Пыхни и включи, детка, пыхни и включи.
@Sklivvz: с этим нет проблем. Частице по-прежнему необходимо удовлетворять HUP в каждый момент времени, даже если вы не измеряете ее; Я просто хочу сделать это утверждение количественным. Если это поможет, подумайте об этом как о чисто математической задаче.
@Deepak: хорошая идея. Я знаю, что когерентные состояния полезны для гармонического осциллятора, и я полагаю, что его возмущения тоже. А как насчет общей системы? Всегда ли присутствуют когерентные состояния?
@Marek, я понимаю, однако твое утверждение сильнее, чем HUP, не так ли?
@Sklivvz: хм, не особо сильнее. Он независим, но (если он верен) дает дополнительную информацию о поведении неопределенности.
@Marek, когерентные состояния не обязательно должны «присутствовать», чтобы использовать их в расчетах, ориентированных на основу. Помните, что CS образуют сверхполный базис гильбертова пространства.
Я не думаю, что это утверждение верно. Поместите волновой пакет минимальной неопределенности в t=0. Какова была неопределенность до этого, при t<0? он был больше, поэтому он уменьшался до t = 0. В более общем смысле, вы не можете вывести асимметричные во времени утверждения из законов симметрии во времени.
@Roy: поправьте меня, если я ошибаюсь, но я предположил, что когерентные состояния - это особые состояния, которые каждый раз удовлетворяют определенному условию (а именно, минимизации HUP). Очевидно, что это условие зависит от точного гамильтониана, и для меня не очевидно, что такие состояния всегда можно найти. Возможно, вы говорите о CS гармонического осциллятора? Если да, то как они мне помогают? Они, конечно, не сохраняются эволюцией при произвольном гамильтониане.
@Moshe: в вашем аргументе есть лазейки: минимума для данной системы может не быть (просто инфимум), а если есть минимум, он может сохраниться в эволюции (как для свободного гауссова). Тем не менее, хорошая идея, и я попытаюсь использовать ее, чтобы найти контрпример в какой-нибудь простой системе. Что касается второго утверждения: да, я уверен, вы скажете мне, что мы тоже не можем получить второй закон... шучу, я не хочу влезать в эту дискуссию, которая заставила Больцмана покончить с собой :)
@Marek, в любом примере вы можете решить уравнение Шредингера, вы обнаружите, что интересующая вас величина растет от t = 0 как в прошлое, так и в будущее, это гарантируется симметрией. Что касается общего утверждения, то оно верно и для второго закона. Вы не можете вывести выводы о временной асимметрии из законов временной симметрии без дополнительных входных данных, это просто базовая логика, не имеющая ничего общего с физикой. Вся дискуссия заключается в том, что это за дополнительный вклад и где он появляется.
@Marek, я еще не пробовал расчет, предложенный Дипаком (слишком много Stack Q для обзора), но это только основа. Базисные векторы x являются дельта-функциями положения, p - дельта-базисом импульса (с заданной долей каждого значения для $\Psi$ ), а также основу CS. Проблема в том, что он переполнен, поэтому это может вызвать проблемы, т.е. $\Psi(t) = a1(t)CS1 + a2(t)CS2 + ...$ .
@Moshe: хорошие моменты, спасибо. @Roy: Я понимаю, что это некоторый набор векторов, охватывающих гильбертово пространство, но вопрос в том, как они определяются для общей системы? Всегда одинаково (т.е. как «собственные состояния» операторов уничтожения) или в зависимости от гамильтониана? Я никогда не сталкивался с ними, кроме стандартного класса QM, когда говорил о гармоническом осцилляторе, поэтому я понятия не имею об общей ситуации.
@Marek: Есть много способов обобщить когерентные состояния на негармонические системы. 1) Когерентные состояния оператора уничтожения. 2) Когерентные состояния группы динамической симметрии (класс смежности G/H, где H — группа устойчивости реперного вектора). 3) Минимальные (и равные) состояния неопределенности. 4) Обобщенное когерентное состояние Клаудера... Все определения гармонического осциллятора совпадают и могут быть расширены для получения обобщенных сжатых состояний. Defn 3) может быть нестабильным во времени, в зависимости от того, какие наблюдаемые вы минимизируете. См. также nLab
@Simon: очень интересно, я понятия не имел, что существует так много определений. Не могли бы вы также упомянуть некоторые полезные приложения (если вы их знаете)?
@Marek: На самом деле я не из тех, кто спрашивает о приложениях ... Клаудер (и другие) использует их для своего альтернативного подхода к интегралам по путям и квантованию. Последняя треть книги Перелемова посвящена физическим приложениям. Вы можете посмотреть содержание, чтобы увидеть, что.
@Marek: я смотрел на этот материал много лет назад как проект 4-го года - и единственное приложение, на которое я действительно смотрел, было приближением классических решений. Теперь, оглядываясь назад, я понимаю намного больше и вижу, что есть некоторые вещи, связанные с моей текущей работой, на которые мне действительно следует обратить внимание...
Лично я считаю, что книга Али, Антуана и Газо — отличный справочник по связным состояниям. Одних первых нескольких страниц достаточно, чтобы дать большинству людей все, что им нужно для работы с когерентными состояниями. Что касается приложений, сжатые состояния (обобщения когерентных состояний) часто используются в космологии , в частности, для решения вопросов о появлении классичности после инфляции.

Qмеханик · Answer 1

Вопрос касается временной зависимости функции

ф (т) знак равно ⟨ ψ (т) | (Δ \hat{Икс})^{2} | ψ (т) ⟩ ⟨ ψ (т) | (Δ \hat{п})^{2} | ψ (т) ⟩,

$f(t) := \langle\psi(t)|(\Delta \hat{x})^2|\psi(t)\rangle \langle\psi(t)|(\Delta \hat{p})^2|\psi(t)\rangle,$

куда

Δ \hat{Икс} знак равно \hat{Икс} - ⟨ ψ (т) | \hat{Икс} | ψ (т) ⟩, Δ \hat{п} знак равно \hat{п} - ⟨ ψ (т) | \hat{п} | ψ (т) ⟩, ⟨ ψ (т) | ψ (т) ⟩ знак равно 1.

$\Delta \hat{x} := \hat{x} - \langle\psi(t)|\hat{x}|\psi(t)\rangle, \qquad \Delta \hat{p} := \hat{p} - \langle\psi(t)|\hat{p}|\psi(t)\rangle, \qquad \langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=1.$

Здесь мы будем использовать картину Шредингера, в которой операторы постоянны во времени, а кеты и бюстгальтеры эволюционируют.

Изменить : под влиянием замечаний Моше Р. и Теда Банна добавим, что (при предположении (1) ниже) само уравнение Шредингера инвариантно относительно оператора обращения времени $\hat{T}$ , который является сопряженным линейным оператором, так что

\hat{Т} т знак равно - т \hat{Т}, \hat{Т} \hat{Икс} знак равно \hat{Икс} \hat{Т}, \hat{Т} \hat{п} знак равно - \hat{п} \hat{Т}, {\hat{Т}}^{2} знак равно 1.

$\hat{T} t = - t \hat{T}, \qquad \hat{T}\hat{x} = \hat{x}\hat{T}, \qquad \hat{T}\hat{p} = -\hat{p}\hat{T}, \qquad \hat{T}^2=1.$

Здесь мы ограничиваемся гамильтонианами $\hat{H}$ чтобы

[\hat{Т}, \hat{ЧАС}] знак равно 0. (1)

$[\hat{T},\hat{H}]=0.\qquad (1)$

Более того, если

| ψ (т) ⟩ знак равно \sum_{н} ψ_{н} (т) | н ⟩

$|\psi(t)\rangle = \sum_n\psi_n(t) |n\rangle$

является решением уравнения Шредингера в некотором базисе $|n\rangle$ , тогда

\hat{Т} | ψ (т) ⟩ знак равно \sum_{н} ψ_{н}^{*} (- т) | н ⟩

$\hat{T}|\psi(t)\rangle := \sum_n\psi^{*}_n(-t) |n\rangle$

также будет решением уравнения Шрёдингера с функцией отражения от времени $f(-t)$ .

Таким образом, если $f(t)$ непостоянна во времени, то можно предположить (возможно, после операции обращения времени), что существуют два времени $t_1<t_2$ с $f(t_1)>f(t_2)$ . Это противоречило бы утверждению в исходном вопросе. Чтобы закончить аргумент, мы приводим ниже пример непостоянной функции $f(t)$ .

Рассмотрим гамильтониан простого гармонического осциллятора с нулевой энергией $\frac{1}{2}\hbar\omega$ вычитается для последующего удобства.

\hat{ЧАС} знак равно \frac{{\hat{п}}^{2}}{2 м} + \frac{1}{2} м ю^{2} {\hat{Икс}}^{2} - \frac{1}{2} ℏ ю знак равно ℏ ю \hat{Н},

$\hat{H}:=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\hat{x}^2 -\frac{1}{2}\hbar\omega=\hbar\omega\hat{N},$

куда $\hat{N}:=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}$ является числовым оператором.

Поставим константы $m=\hbar=\omega=1$ к одному для простоты. Тогда операторы уничтожения и рождения равны

\hat{а} знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{Икс} + я \hat{п}), {\hat{а}}^{†} знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{Икс} - я \hat{п}), [\hat{а}, {\hat{а}}^{†}] знак равно 1,

$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} + i \hat{p}), \qquad \hat{a}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} - i \hat{p}), \qquad [\hat{a},\hat{a}^{\dagger}]=1,$

или наоборот,

\hat{Икс} знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} ({\hat{а}}^{†} + \hat{а}), \hat{п} знак равно \frac{я}{\sqrt{2}} ({\hat{а}}^{†} - \hat{а}), [\hat{Икс}, \hat{п}] знак равно я,

$\hat{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}), \qquad \hat{p}=\frac{i}{\sqrt{2}}(\hat{a}^{\dagger}-\hat{a}), \qquad [\hat{x},\hat{p}]=i,$

{\hat{Икс}}^{2} знак равно \hat{Н} + \frac{1}{2} (1 + {\hat{а}}^{2} + ({\hat{а}}^{†})^{2}), {\hat{п}}^{2} знак равно \hat{Н} + \frac{1}{2} (1 - {\hat{а}}^{2} - ({\hat{а}}^{†})^{2}) .

$\hat{x}^2=\hat{N}+\frac{1}{2}\left(1+\hat{a}^2+(\hat{a}^{\dagger})^2\right), \qquad \hat{p}^2=\hat{N}+\frac{1}{2}\left(1-\hat{a}^2-(\hat{a}^{\dagger})^2\right).$

Рассмотрим пространство Фока $|n\rangle := \frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^{\dagger})^n |0\rangle$ такой, что $\hat{a}|0\rangle = 0$ . Рассмотрим начальное состояние

| ψ (0) ⟩ знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + | 2 ⟩), ⟨ ψ (0) | знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (⟨ 0 | + ⟨ 2 |) .

$|\psi(0)\rangle := \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle+|2\rangle\right), \qquad \langle \psi(0)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\langle 0|+\langle 2|\right).$

затем

| ψ (т) ⟩ знак равно е^{- я \hat{ЧАС} т} | ψ (0) ⟩ знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0 ⟩ + е^{- 2 я т} | 2 ⟩),

$|\psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t}|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle+e^{-2it}|2\rangle\right),$

⟨ ψ (т) | знак равно ⟨ ψ (0) | е^{я \hat{ЧАС} т} знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} (⟨ 0 | + ⟨ 2 | е^{2 я т}),

$\langle \psi(t)| = \langle\psi(0)|e^{i\hat{H}t} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\langle 0|+\langle 2|e^{2it}\right),$

⟨ ψ (т) | \hat{Икс} | ψ (т) ⟩ знак равно 0, ⟨ ψ (т) | \hat{п} | ψ (т) ⟩ знак равно 0.

$\langle\psi(t)|\hat{x}|\psi(t)\rangle=0, \qquad \langle\psi(t)|\hat{p}|\psi(t)\rangle=0.$

Более того,

⟨ ψ (т) | {\hat{Икс}}^{2} | ψ (т) ⟩ знак равно \frac{3}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} потому что (2 т), ⟨ ψ (т) | {\hat{п}}^{2} | ψ (т) ⟩ знак равно \frac{3}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} потому что (2 т),

$\langle\psi(t)|\hat{x}^2|\psi(t)\rangle=\frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2t), \qquad \langle\psi(t)|\hat{p}^2|\psi(t)\rangle=\frac{3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2t),$

потому что $\hat{a}^2|2\rangle=\sqrt{2}|0\rangle$ . Следовательно,

ф (т) знак равно \frac{9}{4} - \frac{1}{2} {потому что}^{2} (2 т),

$f(t) = \frac{9}{4} - \frac{1}{2}\cos^2(2t),$

который непостоянен во времени, и мы закончили. Или, в качестве альтернативы, мы можем завершить контрпример без использования вышеуказанного аргумента обращения времени, просто выполнив соответствующий перевод времени $t\to t-t_0$ .

Я подумывал попробовать самостоятельно разработать пример гармонического осциллятора (потому что у меня есть несколько дополнительных вопросов, и это кажется простейшей системой, в которой происходит что-то нетривиальное), но вы меня опередили. Спасибо!
Хотя есть одна вещь, которая меня смущает. Я считаю, что расчет в основном правильный, однако мы имеем $f(0) = 1/4$ что означает, что он сводит к минимуму HUP (если я не ошибаюсь в ваших соглашениях) и, следовательно, $\psi(0)$ должен быть гауссовым - противоречие с вашим начальным состоянием. Где-то есть небольшая ошибка в расчетах или у меня есть изъян в моих рассуждениях?
Уважаемый @Marek: я согласен, были полномочия $2$ отсутствует в трех формулах.
+1 Хороший четкий, простой пример, который передает суть.
Стоит отметить одну вещь: вы говорите, что уравнение Шредингера не является инвариантным относительно обращения времени. Это правда, что просто подставив $t\to -t$ не является постоянным, а одновременно изменяется $t\to -t$ и комплексное сопряжение $\psi\to\psi^*$ оставляет уравнение инвариантным. Это означает, что для каждого решения $\psi(t)$ , есть соответствующее решение $\psi^*(-t)$ это «выглядит как» одно и то же состояние, идущее назад во времени (и, в частности, имеет одинаковые значения ожидания для всех операторов). Именно это имеют в виду люди, когда говорят, что уравнение Шрёдингера обладает симметрией обращения времени.
@TedBunn: «Похоже» или «есть»? На самом деле, согласно вашему аргументу , это должно быть "есть". Какова ваша позиция по этому вопросу?

Тед Банн · Answer 2

Тед Банн

Уравнение Шредингера симметрично во времени. Следовательно, нет.

пользователь566

Я с вами, но Мареку, вероятно, полезно самому увидеть, как это работает на простом примере, чтобы убедиться в общем утверждении.

Марек

Да, это кажется хорошим аргументом для решения первоначального вопроса. Но это вызывает дополнительные вопросы :) В частности, решение Моше (минимальный рост как в будущее, так и в прошлое) является своего рода отказом. Но я полагаю, что с обеих сторон этого отскока неравенство будет удовлетворено. Другими словами, было бы утверждение верным, если бы мы разрешили эти простые упругие решения и время «t = 0». Или, выражаясь более ясно: мне следовало задать более общий вопрос о том, как выглядит неопределенность как функция времени... Теперь мы знаем, что она не обязательно должна быть монотонной, но, возможно, у нее есть другие приятные свойства.

Тед Банн

Я не могу понять это предложение: другими словами, было бы утверждение верным, если бы мы разрешили эти простые упругие решения и время «t = 0». Не знаю, можно ли вообще сказать что-нибудь интересное о временной эволюции

Δ x Δ p

$\Delta x\,\Delta p$ , за исключением, конечно, того, что он ограничен снизу.

Марек

@Ted: ах, это действительно было не очень ясно. Лучшая перефразировка, вероятно, такова: существует ли время

t_{0}

$t_0$ такое, что неравенство выполняется всегда

t \geq t_{0}

$t \geq t_0$ . Но это другой вопрос.

Тед Банн

Ах, я понимаю, что вы имеете в виду. Это очень правдоподобное предположение. Держу пари, что это верно для свободной частицы, но я не знаю.

Тед Банн

Да, я думаю, что это верно для свободной частицы. Работая с изображением Гейзенберга, вы можете показать, что (если только я не испортил коммутаторы, что всегда возможно)

d (x^{2}) / d t^{2} = 2 p^{2} / m^{2}

$d(x^2)/dt^2=2 p^2/m^2$ . Работа в системе отсчета, в которой

⟨ p ⟩ = 0

$\langle p\rangle=0$ , чтобы

⟨ x ⟩

$\langle x\rangle$ постоянна, и ее также можно принять равной нулю. Тогда неуверенность в

x

$x$ просто

Δ x^{2} = ⟨ x^{2} ⟩

$\Delta x^2=\langle x^2\rangle$ , который имеет положительную вторую производную

2 ⟨ p^{2} ⟩ / m^{2}

$2\langle p^2\rangle/m^2$ . Так что в конечном итоге он начинает увеличиваться. В этой ситуации

Δ p

$\Delta p$ постоянна, поэтому

Δ x Δ p

$\Delta x\,\Delta p$ в итоге увеличивается.

Карл Браннен

@ Тед Банн; Моя интуиция говорила то же самое, но откуда ты знаешь, что

Δ p

$\Delta p$ постоянно? Может, уменьшается. Я должен был сделать расчет. Но имеет смысл, что если волновая функция расплывается, она будет иметь меньший средний градиент и, следовательно, меньшую

Δ p

$\Delta p$ .

Марек

@Ted: @Carl прав. Как я уже писал в своем вопросе, бесплатный пакет Gaussian минимизирует HUP на все времена. Но мы также знаем, что неопределенность в его положении возрастает. Поэтому неуверенность в его импульсе должна уменьшиться. Я предполагаю, что это общая черта каждой эволюции (но опять же нет доказательств, и вполне может быть, что это не удается по тривиальным причинам).

Марек

@Ted, @Carl: ладно, теперь я совсем запутался. Во-первых, я не вижу никаких проблем с моим аргументом о HUP. Во-вторых, я понимаю комментарий Теда о

Δ p

$\Delta p$ постоянной, поскольку импульс является интегралом движения свободной частицы и, следовательно, распределение импульсов пакета не может меняться во времени. Очевидно, я должен упускать из виду что-то тривиальное, но не могу понять, что это такое :(

Марек

Хорошо, я понял. Эволюционная функция, очевидно, больше не является гауссовой. Только его плотность вероятности является его амплитудой, но не его амплитудой. Поэтому нет оснований предполагать, что он по-прежнему минимизирует HUP.

Тед Банн

Я думаю, что @Marek и я полностью согласны. Чтобы быть откровенным, позвольте мне ответить на вопрос @Carl о том, откуда мы знаем

Δ p

$\Delta p$ постоянно. Марек прав: для свободной частицы

p^{n}

$p^n$ коммутирует с гамильтонианом, поэтому все средние значения

⟨ p^{n} ⟩

$\langle p^n\rangle$ постоянны. Так

Δ p^{2} = ⟨ p^{2} ⟩ - ⟨ p ⟩^{2}

$\Delta p^2=\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2$ постоянно. (Действительно, все распределение вероятностей для

p

$p$ постоянна во времени.) В результате гауссовский волновой пакет для свободной частицы не всегда остается минимально-неопределенным. Он распространяется в реальном пространстве, оставаясь неизменным в импульсном пространстве.

Карл Браннен

@ Тед Банн; На самом деле, ссылка, которую я дал: demos.wolfram.com/EvolutionOfAGaussianWavePacket , действительно показывает, что гауссиан имеет минимум

ℏ / 2

$\hbar/2$ при t=0. Соответственно, я удалю комментарий, который я сделал, говоря об обратном.

Алан Роминджер

У меня такие тяжелые времена с этой концепцией. Ваше утверждение кажется мне неверным, и вместо того, чтобы спорить, позвольте мне привести уравнение, подтверждающее мой аргумент. Разве не правда, что

⟨ x (- t)^{2} ⟩ ⟨ p (- t)^{2} ⟩ \geq ⟨ x (0)^{2} ⟩ ⟨ p (0)^{2} ⟩

$\left<x(-t)^2\right>\left<p(-t)^2\right> \geq \left<x(0)^2\right>\left<p(0)^2\right>$ также? Самый точный из известных

x

$x$ а также

p

$p$ находятся в

t = 0

$t=0$ , поэтому при наличии только этой информации неопределенность возрастает в обоих направлениях времени. Да, уравнение симметрично во времени, но это согласуется с неправильным ответом.

Тед Банн

Ну, это утверждение не может быть верным для всех решений уравнения Шредингера, так как в этом нет ничего особенного.

t = 0

$t=0$ в уравнении! Думаю, я упускаю из виду вашу мысль.

Тед Банн

Позвольте мне немного уточнить суть моего предыдущего комментария. Предположим, у вас есть решение, в котором неопределенность растет по мере удаления от

t = 0

$t=0$ в обоих направлениях. Затем, изменив свой (произвольный) выбор

t = 0

$t=0$ немного вперед, у вас будет решение, в котором неопределенность растет на

t = 0

$t=0$ , и сдвигая

t = 0

$t=0$ немного назад, у вас будет решение, в котором неопределенность падает на

t = 0

$t=0$ .

пользователь2898 · Answer 3

Нет. Вот простой пример, когда он сжимается:

У вас есть частица, которая с вероятностью 50 % окажется слева и пойдет вправо, и с вероятностью 50 % окажется справа и пойдет налево. Это имеет макроскопическую ошибку как в положении, так и в импульсе. Если вы подождете, пока он пройдет половину пути, он со 100% вероятностью окажется посередине. Это микроскопическая ошибка в положении. Также будет только микроскопическое изменение импульса. (Я не совсем уверен в этом, поскольку возможности пересекаются друг с другом, но если вы просто посмотрите прямо перед этим или заставите их немного промахнуться, это все равно сработает.)

Таким образом, ошибка в положении значительно уменьшилась, но ошибка в импульсе осталась примерно такой же.

Даниэль · Answer 4

Марек,

Думайте с точки зрения гармонических функций и их принципа максимума (или теоремы о среднем значении).

Для простоты (и, по сути, без ограничения общности) давайте просто подумаем о свободной частице, т.е. $V(x,y,z) = 0$ . Когда Потенциал обращается в нуль, уравнение Шредингера есть не что иное, как уравнение Лапласа (или уравнение Пуассона, если вы хотите использовать исходный термин). И в этом случае вы можете применить теорему о среднем значении (или принцип максимума) и получить результат, относящийся к вашему вопросу: в этой ситуации вы насыщаете равенство.

Теперь, если у вас есть Потенциал, вы можете думать в терминах оператора Лапласа-Бельтрами : все, что вам нужно сделать, это «поглотить» Потенциал в кинетическом члене с помощью метрики Якоби : $\tilde{\mathrm{g}} = 2\, (E - V)\, \mathrm{g}$ . (Обратите внимание, что это просто конформное преобразование исходной метрики в вашей задаче.) И, как только это будет сделано, вы можете просто повернуть ту же рукоятку, что и выше, т. е. мы свели задачу к той же, что и выше. ;-)

Надеюсь, это немного поможет.

Извините, но я не понимаю, как это связано с неопределенностью и временной эволюцией. Не могли бы вы объяснить это?
@Marek: Qmechanic ясно указал на это в своем ответе выше. Если вы примените то, что я сказал к картине Шредингера, вы получите эволюционирующие состояния, величина которых всегда ограничена теоремой о среднем значении. (Если бы мы говорили об ограниченных операторах, это можно было бы сделать более строгим с помощью функционального анализа.)

Лоуренс Б. Кроуэлл · Answer 5

Физический способ увидеть это состоит в том, что объем фазового пространства системы сохраняется. Гамильтонова механика сохраняет объем системы на ее энергетической поверхности H = E, что в квантовой механике соответствует уравнению Шрёдингера. Объем фазового пространства на энергетической поверхности фазового пространства состоит из единиц объема $\hbar^{2n}$ для переменных импульса и положения плюс $\hbar$ энергии $i\hbar\partial\psi/\partial t~=~H\psi$ . Это потом сохраняется. Любой рост неопределенности $\Delta p\Delta q~=~\hbar/2$ тогда будет означать рост объема фазового пространства системы. Тогда это будет означать, что имеет место какой-то диссипативный процесс, или квантовая динамика заменяется каким-то основным уравнением с тепловыми или экологическими потерями той или иной формы. Однако для чистой унитарной эволюции объем фазового пространства системы или, что то же самое, $Tr\rho$ а также $Tr\rho^2$ постоянны. Это означает, что соотношение неопределенностей представляет собой преобразование Фурье между дополнительными наблюдаемыми, которые сохраняют площадь $\propto~\hbar$ .

-1, это совершенно не относится к моему вопросу. Меня интересуют только чистые состояния, и для них фазовый объем всегда равен нулю и поэтому тривиально сохраняется. Но это не дает никакой информации о поведении неопределенности.
Объем, который система занимает в фазовом пространстве, определяет энтропию как $S~=~k~log(\Omega)$ за $\Omega$ . Энтропия фон Неймана $С знак равно - к Т р р л о грамм (р) .$ $S~=~-k~Tr~\rho log(\rho).$ В смешанном состоянии каждый элемент $\rho~=~1/n$ и след $\sum(1/n)log(1/n)$ $~=~log(n)$ . Затем чистое состояние занимает область фазового пространства, нормализованную к единице объема, а не к нулю.

ЛКИНГ · Answer 6

Принцип неопределенности Гейзенберга основан на эффекте Комптона, который гласит, что длина волны (w) обратно пропорциональна E, p и f. Однако, если кто-то соберет несколько формул квантовой физики, можно создать эти 4 формулы и использовать форму геометрии для решения принципа неопределенности, но одновременно находить местоположение и импульс электрона (е-), имея возможность приблизительно определить, где он находится. присутствие было, есть и будет.

[Формулы созданы мной]

((h(c/wi)-h(c/wf))/c^2)+m(e-)=m (e- после столкновения фотонов)
h(c/wi)-h(c/wf)=E(энергия, выделяемая фотоном при столкновении с электроном) 3.((h(c/wi)-h(c/wf))/c)=p
(h(c/wi)-h(c/wf)+m(e-)c^2=всего e-E

Используя правило 60/30, можно найти угол, под которым будет запущен электрон, и где он находился до того, как фотон столкнулся с ним, используя исходную траекторию и ток, чтобы найти место пересечения. Это позволит вам найти его местонахождение.

Если вы не согласны с этим, пожалуйста, объясните, почему, чтобы я мог его улучшить.

Формула импульса:

Энергия, испускаемая фотоном при столкновении:

Всегда ли растет неопределенность Гейзенберга относительно эволюции во времени?

Марек

Скливвз

пользователь346

Марек

Марек

Скливвз

Марек

Рой Симпсон

пользователь566

Марек

Марек

пользователь566

Рой Симпсон

Марек

Саймон

Марек

Саймон

Саймон

пользователь346

Ответы (6)

Qмеханик

Марек

Марек

Марек

Qмеханик

Саймон

Тед Банн

Проклятый

Тед Банн

пользователь566

Марек

Тед Банн

Марек

Тед Банн

Тед Банн

Карл Браннен

Марек

Марек

Марек

Тед Банн

Карл Браннен

Алан Роминджер

Тед Банн

Тед Банн

пользователь2898

Даниэль

Марек

Даниэль

Лоуренс Б. Кроуэлл

Марек

Лоуренс Б. Кроуэлл

ЛКИНГ