Могу ли я вывести комбинированное уравнение для скорости солнечного паруса?

Во-первых, нам нужно уравнение для ускорения:

$$F = \frac{F_0}{R^2}$$

Следует отметить, что в этом уравнении отсутствует множитель (единицы не работают). Технически,$F_0$нужно умножить на$1\ AU^2$, таким образом, единицы корректно компенсируются.

Предполагая оптимальный угол, поэтому:

$$A = \frac{F_0 \cdot 1AU^2}{M\cdot R^2}$$

Где$M$масса нашего зонда. Ваше цитирование$F_0$составляет 8,25 мкН на квадратный метр паруса. так:

$$A = \frac{8.25\cdot 10^{-6} N/m^2 \cdot \text{Sail Area} \cdot 1 AU^2}{\text{Mass} \cdot R^2}$$

Нам нужно будет преобразовать наш$\text{Sail Area}$к$AU^2$для того, чтобы работать с этим уравнением силы и корректно отменять единицы измерения.

Однако мы можем переписать это как:

$$A = \frac{K}{R^2}$$

Где$K$просто константа, основанная на$\text{Sail Area}$а также$\text{Mass}$(я бы использовал$C$, но опасались, что люди могут спутать это со скоростью света).

$$K = \frac{8.25*10^{-6} N/m^2 \cdot \text{Sail-Area} \cdot 1 Au^2}{\text{Mass}}$$

Это означает, что нам придется иметь дело с дифференциальными уравнениями.

$$A = \frac{d^2R}{dt^2} = \frac{K}{R^2}$$

$$A = \frac{dV}{dT}$$

$$\frac{d^2R}{dt^2} = \frac{dV}{dT} = \frac{dV}{dR} \cdot \frac{dR}{dT} = \frac{dV}{dR} \cdot V$$

$$\frac{dV}{dR} \cdot V = \frac{K}{R^2}$$

так

$$dv*V = \frac{K}{R^2} * dR$$

Бесконечно интегрировать

$$\frac{1}{2} V^2 = \frac{-k}{R} + P$$

$$V = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$$

$P$является аддитивной константой, еще раз пытаясь избежать использования$C$. Наша аддитивная константа$P$будет зависеть от нашей начальной скорости в$1 AU$. Если наша начальная скорость$0$Например,

$$\frac{1}{2} 0^2 = \frac{-k}{1 AU} + P$$

$$P = \frac{k}{1 AU}$$

Но это будет варьироваться в зависимости от этого начального состояния.

Итак, у нас есть выражение для$V$в зависимости от расстояния до Солнца. Однако я подозреваю, что вы хотите получить ответ с точки зрения пройденного времени, а не пройденного расстояния (если не мы закончили).

так$V=\frac{dR}{dt}$так

$$\frac{dR}{dt} = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$$ $$\frac{dR}{\sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}} = dT$$

Интегрировать

В этот момент это ужасно. Я пытался сделать замену арктана, но, похоже, ничего не сработало. Так что я свалил его в Mathematica.

T = (2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r - k*Log[k + 2*p*r + 2*Sqrt[p]*Sqrt[p + k/r]*r])/ (2*Sqrt[2]*p^(3/2))

На этом этапе вам нужно будет решить для$R$с точки зрения$P$,$K$, а также$T$. Что-то, что не кажется забавным предложением. Вы подставляете это обратно в свое уравнение скорости, чтобы получить скорость как функцию времени.

Если кто-то видит более простой способ закончить эту математику, пожалуйста, дайте мне знать. Может быть, кто-то еще может взять его отсюда.

На самом деле это в основном сводится к$T = R-\ln{(R)}$как ужасное приближение.

Это на самом деле имеет большой смысл. Сначала у нас будет что-то, что выглядит несколько квадратичным, однако по мере того, как мы выходим за пределы$10 AU$или около того (на самом деле это будет зависеть от констант), это действительно становится более или менее линейным, когда ускорение падает почти до нуля, и мы просто движемся на крейсерской скорости.

Google$x-\ln(x)$и немного уменьшите график, чтобы увидеть.

Таким образом, расстояние более или менее линейно со временем, и$V$сталкивается с некоторой константой, которую мы можем найти, глядя на уравнение скорости.

Мы можем принять предел$V = \sqrt{\frac{-2k}{R} + 2P}$в качестве$R$уходит в бесконечность. Это становится

$$V = \sqrt{2P}$$

это то, к чему асимптотически приближается наша скорость. Используя значение, которое я придумал для$P$раньше, используя начальные условия.

$$\sqrt{\frac{-2k}{R} + \frac{k}{1AU}} = \sqrt{k \left(\frac{1}{1AU} - \frac{2}{R}\right)}$$

Один раз$\frac{2}{R}$составляет менее одной сотой$\frac{1}{AU}$мы более или менее достигли нашей конечной скорости (мы всего в 1/10 от нее).

Так

$$\frac{2}{R} = \frac{1}{100 AU}$$

$$R = 50 AU$$

Который находится сразу за орбитальным расстоянием Плутона.

Немного разочаровывает. Однако это согласуется с литературой, которую я читал, что показывает, что за пределами нашей Солнечной системы солнечные паруса не являются эффективным средством движения. Это, конечно, меняется, если у вас есть какая-то лазерная система, стреляющая по нему.