Может ли Темная Материя означать существование Темной энергии? [закрыто]

Это, по общему признанию, простой пример, но, похоже, он проверен. Рассмотрим стандартную метрику решения Шварцшильда в координатах$(t, r,\theta,\phi)$:

$$g_{oo} = U, \ g_{11} = V, \ g_{22} = r^2, \ g_{33} = r^2\sin^2(\theta)$$

с тензором энергии, представляющим точечную частицу с нулевым импульсом или напряжением:

$$T^{00} = m_{\text{rel}} \ \text{and} \ T^{\mu\neq 0 \nu\neq 0} = 0$$ .

Если теперь добавить произвольный член гравитации темной материи, такой, что$g_{00} = U + \Omega_t(r)$и$g_{1} = V + \Omega_r(r)$, но ограничивает$T^{00}$чтобы оставаться постоянным, закон сохранения тензора энергии будет принимать перекрестные члены. Здесь$\Omega_r$и$\Omega_t$являются строго функциями$r$и не$t$.

Для начала символы Кристоффеля:

$$\Gamma^0_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} & 0 & 0 \\ \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},$$

$$\Gamma^1_{ik} = \begin{bmatrix} \frac{-(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-r}{V+\Omega_r} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-r\sin^2(\theta)}{V+\Omega_r} \end{bmatrix},$$

$$\Gamma^2_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sin(\theta)\cos(\theta) \end{bmatrix},$$

$$\Gamma^3_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{r} \\ 0 & 0 & 0 & \cot(\theta) \\ 0 & \frac{1}{r} & \cot(\theta) & 0 \end{bmatrix},$$

и для более поздних целей:

$$\Gamma^k_{ik} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r} & \cot(\theta) & 0 \end{bmatrix}$$

Теперь воспользуемся следующим законом сохранения:

$$0 = \nabla_\nu T^{\mu\nu} = \partial_\nu T^{\mu\nu} + \Gamma^\mu_{\sigma\nu} T^{\sigma\nu} + \Gamma^{\nu}_{\sigma\nu} T^{\mu\sigma}.$$

Перед прохождением ограничиваем$T^{\mu\nu}$к следующему:

$$T^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} m_\text{rel} & p^r & 0 & 0 \\ p^r & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Кроме того, все производные от$T^{\mu\nu}$угловой составляющей принимаются равными нулю. Это дает:

$$\partial_i T^{0i} + \Gamma^{0}_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu} + \Gamma^\nu_{\sigma\nu} T^{0\sigma} = 0$$

$$\partial_t m_\text{rel} + \partial_r p^r + \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)}p^r + \left( \frac{U'+\Omega_t'}{2(U+\Omega_t)} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \right)p^r = 0$$

$$\partial_t m_\text{rel} + \partial_r p^r + \left( \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \right)p^r = 0$$

и

$$\partial_i T^{1i} + \Gamma^{1}_{\sigma\nu}T^{\sigma\nu} + \Gamma^\nu_{\sigma\nu} T^{1\sigma} = 0$$

$$\partial_t p^r - \frac{(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} m_\text{rel} = 0$$

Из$\mu = 1$уравнения, которые мы получаем

$$p^r = \frac{(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} m_\text{rel} t + C(r),$$

который, вне зависимости от дополнительных манипуляций, уже начинает намекать на некоторые свойства темной материи и энергии. Из$\mu = 0$уравнения, в предположении, что$\partial_t m_\text{rel} = 0$, получим дифференциальное уравнение:

$$\frac{\partial_r p^r}{p^r} = \left( \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \right)$$

$$p^r = \exp \left( \int \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \, dr \right) + C(t)$$

Вместе наиболее общая форма импульса как функции «времени» и радиуса такова:

$$p^r = \exp \left( \int \frac{U'+\Omega_t'}{U+\Omega_t} + \frac{V' + \Omega_r'}{2(V + \Omega_r)} + \frac{2}{r} \, dr \right) + \frac{(U'+\Omega_t')}{2(V+\Omega_r)} m_\text{rel}t + C$$

Заметим, что хотя функции$\Omega_t$и$\Omega_r$может произвольно изменить$U$и$V$соответствовать кривым темной материи, если$\frac{U' +\Omega_t'}{2(V+\Omega_r)}$строго положителен вне определенного радиуса, импульс может бесконечно возрастать.

В конечном счете, это просто показывает, что Темная Материя и Энергия могут быть связаны единым набором функций, а не действовать независимо друг от друга.

Глядя на формулу, я беспокоюсь о различиях в импульсе между системами отсчета, которые плохо вписываются в принцип эквивалентности...

Верна ли моя линия рассуждений? Если да, то предпочтительнее ли это современным представлениям о DM и DE в каком-либо значимом смысле?

PS Мы все ненавидим мельчайшие детали символов Кристоффеля и координатных выражений, поэтому, если я допустил ошибку, дайте мне знать :D. Кроме того, я вполне мог допустить другие более фундаментальные ошибки в моем процессе. Я не нахожусь на «продвинутом» уровне для GR.