Почему темная энергия создает положительную кривизну пространства-времени?

Положительная космологическая постоянная по определению приводит к положительной скалярной кривизне. Просто проследите уравнение Эйнштейна, и вы получите

$$R = 4\Lambda - 8\pi T$$ что просто $$R = 4\Lambda > 0$$ в вакууме.

Неявные, но более интересные вопросы, вероятно, следующие:

Почему мы можем интерпретировать космологическую постоянную как темную энергию?

Моделирование материи как жидкости в равновесии , т.е.

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu}$$ уравнение Эйнштейна гласит $$R_{\mu\nu} - \frac 12 R g_{\mu\nu} = 8\pi (\rho + p) u_\mu u_\nu + (8\pi p - \Lambda) g_{\mu\nu}$$ Теперь, если мы хотим свернуть $\Lambda$термин в терминах вопроса, мы требуем $$\rho_\Lambda + p_\Lambda = 0 \\ 8\pi p_\Lambda = -\Lambda$$ который $$\rho_\Lambda = -p_\Lambda = \frac\Lambda{8\pi}$$ положительная плотность энергии с отрицательным давлением.

Обратите внимание, что это давление не несет прямой ответственности за какое-либо ускорение или замедление космологического расширения: оно однородно в пространстве и остается постоянным во времени, а при отсутствии градиента не создает никаких сил. Его эффект носит чисто гравитационный характер — в конце концов, это всего лишь замаскированная космологическая постоянная.

Действительно ли положительная кривизна пространства-времени приводит к схождению параллельных геодезических?

Не обязательно из-за лоренцевской сигнатуры метрики. Возьмем пространство 1+1 де Ситтера, которое может быть реализовано как гиперболоид в пространстве Минковского и будет выглядеть так (рисунок взят из Викисклада ):

Мы получаем геодезические из пересечений плоскостей через начало объемлющего пространства Минковского с гиперболоидом, а времениподобные из тех, которые наклонены под углом менее 45° к оси времени.

Таким образом, вертикальные линии соответствуют времениподобным геодезическим и явно не сходятся.

Вот здесь-то и появляется нарезка гиперповерхностей, подобных пространству: в космологии FLRW предпочтительным является нарезка, при которой галактическая жидкость является однородной. В пространстве де Ситтера нет материи и, следовательно, нет предпочтительного разделения, но тем не менее мы можем использовать его для иллюстрации различных особенностей космологической стандартной модели.

Горизонтальные окружности, которые мы получаем, пересекая гиперболоидом параллельное семейство плоскостей в объемлющем пространстве, соответствуют пространственно замкнутой Вселенной. Выбор подходящих координат дает метрику

$$ds^2 = -dt^2 + \alpha^2\cosh^2\left(\frac t\alpha\right)d\Omega^2$$ куда $d\Omega$является метрикой евклидовой сферы и $\alpha=\sqrt{3/\Lambda}$.

Наклоняя наши плоскости, мы также можем создавать плоские срезы с соответствующей метрикой.

$$ds^2 = -dt^2 + e^{2t/\alpha}dy^2$$ и открытые срезы с метрикой $$ds^2 = -dt^2 + \alpha^2\sinh^2\left(\frac t\alpha\right)dH^2$$ куда $dH$является метрикой евклидова гиперболического пространства.

В то время как показанные выше светоподобные геодезические, соответствующие покоящимся частицам в случае замкнутого среза, расходятся, пространственная кривизна будет определять, что происходит с частицами при параллельном движении в пространстве. Однако это не то, что можно показать на нашей картине пространства-времени 1+1.

Как это приводит к ускоренному расширению Вселенной?

Глядя на пространственную часть метрики, все три среза в конечном итоге приводят к экспоненциальному расширению пространства, что в случае вселенной де Ситтера является просто вопросом геометрии. Однако в закрытом случае ускоренное расширение происходит только после замедления коллапса до некоторого минимального размера, определяемого значением космологической постоянной.

В моделях Фридмана, пока космологическая постоянная доминирует над содержанием материи, мы в конечном итоге придем к геометрии де Ситтера и, таким образом, к экспоненциальному расширению.

Это действительно комментарий, но он получился немного длинным для поля комментария. Это комментарий, потому что я собирался пойти и исследовать это как следует, но не нашел времени (и, вероятно, никогда не найду). Итак, я опубликую свои первоначальные мысли, но рассматриваю это как предложения для рассмотрения, а не как окончательный ответ.

Когда вы говорите, что я также понимаю, что параллельные геодезические сходятся, когда кривизна положительна , держу пари, у вас есть мысленный образ 2-сферы (извините, если я вас клевещу, но это определенно мой непосредственный мысленный образ положительной кривизны). Дело в том, что двумерная сфера является римановым многообразием, т.е. метрика положительно определена. Напротив, многообразия, которые мы используем в теории относительности, являются псевдоримановыми, т. е. метрика не является положительно определенной и действительно имеет сигнатуру (-+++) или (+---) в зависимости от вашего предпочтительного соглашения. Это важно, потому что скалярная кривизна:

$$R = g^{\alpha\beta} R_{\alpha\beta}$$

Таким образом, положительная скалярная кривизна пространства де Ситтера не означает, что оно похоже на сферу. Это было бы, если бы метрика была положительно определенной, но это не так.