Можно ли использовать Землю, чтобы наложить на что-то пятно араго/пуассона?

Одним из ограничений является рекомендация $F=\frac{d^2}{b\lambda}\geq 1$, в данном случае с$d=12700 \mbox{ km}$о диаметре Земли,$\lambda=600 \mbox{ nm}$некоторую длину волны видимого света и$b$расстояние между круглым препятствием и наблюдателем. Следовательно, расстояние между Землей и наблюдателем должно быть

$b\leq \frac{d^2}{\lambda}=\frac{(12700\cdot10^3\mbox{ m})^2}{600\cdot 10^{-9}\mbox{ m}}=481.67\cdot 10^{18}\mbox{ m}$

Другим ограничением является шероховатость поверхности круглого объекта :$\Delta r < \sqrt{r^2 + \lambda\frac{gb}{g+b}}-r$, с$r=6350\mbox{ km}$радиус кругового препятствия (здесь Земля),$g$расстояние между точечным источником света и круговым препятствием, и$b$расстояние между круглым препятствием и экраном.

Для упрощения вычислений скажем$g\gg b$. Тогда примерно$\Delta r < \sqrt{r^2 + \lambda\frac{gb}{g}}-r = \sqrt{r^2 + \lambda b}-r$.

После добавления$r$и в квадрате вы получите$(\Delta r +r)^2<r^2+\lambda b$. Это упрощает до$(\Delta r)^2+2r\Delta r<\lambda b$. Предполагать$\Delta r\ll r$, и пренебрегаем вторым порядком$(\Delta r)^2$получить$2r\Delta r<\lambda b$. Поделить на$\lambda$чтобы получить приблизительное ограничение для$b$в качестве

$b>\frac{2r\Delta r}{\lambda}$. С$2r=12700 \mbox{ km}$о диаметре Земли,$\lambda=600 \mbox{ nm}$некоторой длины волны видимого света, мы получаем

$b>\frac{12700\cdot 10^3\mbox{ m}\cdot\Delta r}{600\cdot 10^{-9}\mbox{ m}} = 21.1667\cdot 10^{12}\Delta r$.

Два ограничения допускают разумные значения$\Delta r$. Предположим, что шероховатость поверхности Земли составляет, например,$\Delta r = 1\mbox{ km}$. Тогда действительный диапазон расстояний наблюдателей будет между$0.00224$и$50912$ световых лет$9.4607\cdot 10^{15}\mbox{ m}$с Земли.

В астрономических единицах $149597870700\mbox{ m}$ближайшее расстояние до наблюдателя будет$141.49 \mbox{ au}$с Земли.

Однако из-за сжатости Земли вы получите функцию рассеяния точки, значительно отличающуюся от точки для этого «небольшого» расстояния от Земли. Возможно, это можно исправить с помощью соответствующей оптики телескопа.

Эффект гравитационного линзирования$\theta=\frac{4GM}{rc^2}=2.969\cdot 10^{-27}\frac{\mbox{m}}{\mbox{kg}}\frac{M}{r}$, после применения постоянной гравитации $G$и скорость света $c$. С массой$M=5.97237\cdot 10^{24}\mbox{ kg}$и радиус$r=6350000\mbox{ m}$Земли , мы получаем угол$\theta=2.793\cdot 10^{-9}$с помощью гравитационного линзирования на поверхности Земли.

Это сфокусировало бы параллельные лучи света в точку на расстоянии около$b=\frac{r}{\tan \theta}=130.27\cdot 10^{15}\mbox{ m}$, или$13.77$световых лет, то есть далеко за пределами минимального расстояния, на котором могло образоваться пятно Араго. Но, конечно, самый внутренний пик функции рассеяния точки будет ближе к круглому диску на этом большем расстоянии с соответствующим гравитационным линзированием.