Можно ли написать фермионный квантовый гармонический осциллятор, используя PPP и XXX?

Гамильтониан квантового гармонического осциллятора равен

ЧАС "=" п 2 2 м + 1 2 м ю 2 Икс 2
и мы можем определить операторы создания и уничтожения
б "=" м ю 2 ℏ ( Икс + я ю п ) б † "=" м ю 2 ℏ ( Икс − я ю п )
где выполняются следующие коммутационные соотношения
[ Икс , п ] "=" я ℏ [ б , б † ] "=" 1
и гамольтониан можно записать
ЧАС "=" ℏ ю ( б † б + 1 2 ) .
Теперь также известно, что мы можем определить фермионный квантовый гармонический осциллятор с гамильтонианом
ЧАС "=" ℏ ю ( ф † ф − 1 2 )
где ф и ф † выполняется следующее антикоммутационное соотношение
{ ф , ф † } "=" 1.
Я пытаюсь получить гамильтониан для фермионного гармонического осциллятора, используя п и Икс . Я попытался определить
ф "=" м ю 2 ℏ ( Икс + я ю п ) ф † "=" м ю 2 ℏ ( − Икс − я ю п )
поскольку после наложения антикоммутационного соотношения { Икс , п } "=" я ℏ для Икс и п (как я полагаю, подходит для фермионной системы) эти определения ф и ф † подразумевать { ф , ф † } "=" 1 . Тем не менее, для гамильтониана я получаю
ЧАС "=" п 2 2 м − 1 2 м ю 2 Икс 2
где я получаю нежелательный знак минус. Тогда мой вопрос заключается в следующем: возможно ли (при соответствующем определении ф и ф † с точки зрения Икс и п ) для получения первого написанного мной гамильтониана из гамильтониана фермионного осциллятора, записанного в терминах ф и ф † ?

Одна проблема у тебя в том, что ф † как вы определяете, это не эрмитово сопряжение ф , потому что вам это нужно Икс † "=" Икс и п † "=" п .
И я думаю, вы упускаете фактор м прямо перед п в вашем определении операторов создания.
@sagittarius_a Я работаю в подразделениях, где м "=" 1

Ответы (3)

Начнем с

ЧАС "=" ℏ ю ( ф † ф − 1 2 ) ,

с { ф , ф † } "=" 1 , { ф , ф } "=" 0 и определить фермионное положение и координаты импульса как

ψ 1 "=" ℏ 2 ( ф + ф † ) ψ 2 "=" я ℏ 2 ( ф − ф † )
со следующими антикоммутационными соотношениями:
{ ψ я , ψ Дж } "=" ℏ дельта я Дж .
Таким образом, операторы антикоммутируют друг с другом и возводят в соответствие ℏ / 2 .

Находим гамильтониан, сформулированный в новых координатах

ЧАС "=" − я ю ψ 1 ψ 2 ,

что явно порождает колебательное движение, в чем можно убедиться, вычислив уравнения движения Гейзенберга:

ψ ˙ 1 "=" − ю ψ 2 ψ ˙ 2 "=" + ю ψ 1 .

Это не та форма, которую вы ожидали, но это просто показывает странность фермионных степеней свободы.

При условии, что Икс "=" Икс † , п "=" п † и [ Икс , п ] "=" я ℏ , Дай мне попробовать

ф "=" м ю 2 ℏ ( α Икс + β м   ю п )

где α и β являются комплексными числами по модулю один. Отсюда следует, что

ℏ ю ( ф † ф − 1 2 ) "=" п 2 2 м + 1 2 м ю 2 Икс 2 + ℏ ю ( α * β Икс п 2 ℏ + α β * п Икс 2 ℏ − 1 2 )

Теперь вы видите, почему я выбрал α и β так, как я сделал. Мы восстанавливаем исходный гамильтониан, если

я α * β   Икс п + я α β *   п Икс "=" ! я ℏ "=" [ Икс , п ]

выполняется. Таким образом, мы приходим к выводу α β * "=" я . Два комплексных числа с модулем один, которые удовлетворяют этому уравнению, равны α "=" я и β "=" 1 и поэтому

ф "=" м ю 2 ℏ ( я Икс + 1 м   ю п )

может быть возможным кандидатом. Так замечательно мы получаем ф "=" я б † . Мы можем проверить результат, вставив это отношение

ф † ф − 1 2 "=" ( − я б ) ( + я б † ) − 1 2 "=" б б † − 1 2 "=" б † б + 1 2

где последний шаг следует из [ б , б † ] "=" 1 . Но, к сожалению

{ ф , ф † } "=" ф ф † + ф † ф "=" б † б + б б † ≠ 1

и [ ф , ф † ] "=" − 1 . Вы всегда получите бозон-оператора. Что вполне логично, если подумать. Оператор фермионной лестницы подразумевал бы, что в вашей системе внезапно осталось только два состояния, в то время как раньше вы находили бесконечно много состояний. Если вы хотите иметь фермионный осциллятор, что-то должно произойти с гамильтонианом, и предположения должны быть изменены.

[ ф , ф † ] "=" − 1 Я думаю
Да, ты прав :)
почему бы тебе не попробовать с { Икс , п } "=" я ℏ вместо [ Икс , п ] "=" я ℏ ?
Это может сработать. Но это неправда, если Икс и п - оператор положения и импульса, как обычно определяется в квантовой механике.

Фермионы — странные звери во многих отношениях. Первая проблема, с которой вы столкнетесь и которая сделает невозможным написание гармонического осциллятора для фермионов, заключается в следующем:

Операторы фермионной лестницы ф и ф † требуют, чтобы { ф , ф † } "=" 1 . Переведено на Икс и п это значит, что { Икс , п } "=" я ℏ . Но это также означает, что { Икс , Икс } "=" 0 и { п , п } "=" 0 поскольку теперь они являются фермионными операторами. В результате гамильтониан может иметь не более чем билинейные члены по Икс и п .

Особенно условия Икс 2 и п 2 запрещены, поэтому гамильтониана в стиле «гармонического осциллятора» не существует.

Вы можете набирать фигурные скобки в MathJax, используя команду \{
как вы пришли к выводу, что { ф , ф † } "=" 1 подразумевает { Икс , п } "=" я ℏ ? какие формулы вы используете для ф и ф † ?
Хм. я не уверен в { Икс , Икс } "=" 0 . Можете ли вы уточнить свою точку зрения? Насколько я понимаю Икс и п остаются обычными одночастичными операторами. Чтобы иметь фермионный оператор лестницы, нам просто нужно иметь квантовую систему с двумя возможными состояниями: основным состоянием и первым возбужденным состоянием.
@silvrfück. Я не использую здесь никаких формул. Я просто утверждаю, что если ф и ф † являются фермионными операторами, то Икс и п .
Рассмотрим гамильтониан системы с двумя состояниями, заданной уравнением Паули. г матрица. Антикоммутатор этой матрицы отличен от нуля. Однако лестничные операторы будут фермионными.
@sagittatius_a: Вы должны подумать о том, что вы имеете в виду, когда говорите о фермионном гармоническом осцилляторе. Вы \emph{не} описываете фермионную частицу в гармоническом потенциале. В этом сценарии по-прежнему используется обычная «бозонная» установка. То, что вы скорее описываете, - это фермионы во втором квантовании. Так что вы действительно описываете фактическое создание и уничтожение фермионов. В этой установке антикоммутация Икс и п происходит от продвижения полей Икс и п к вторично квантованным операторам.
Гамильтониан задачи выше, кажется, написан в терминах "первого" квантования.
Фермионные операторы Майораны Икс ∼ ( ф + ф † ) / 2 и п ∼ я ( ф − ф † ) / 2 не удовлетворить ваше требование { Икс , Икс } "=" 0 и т.д. На самом деле { Икс , Икс } "=" 1 . Таким образом, линейные комбинации фермионных операторов не всегда нильпотентны.
Можно ли написать фермионный квантовый гармонический осциллятор, используя PPP и XXX?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v