Является ли гильбертово пространство фермионного гармонического осциллятора гильбертовым пространством над алгеброй Грассмана?

Я ничего не знаю о сверхчислах, но конструкция, которую вы упомянули для осциллятора Ферми, выглядит легко формализуемой.

На странице в википедии написано, что множество многочленов в$n$Генераторы Грассмана можно отождествить с внешней алгеброй линейного пространства, и в случае комплексного числа Грассмана мы должны взять пространство на комплексном. На самом деле, я думаю, что это немного неточно, поскольку в квантовой теории поля мы хотим, чтобы$\theta$'песок$\theta^*$должны быть два независимых набора генераторов Грассмана. На самом деле все получается, если отождествить множество полиномов Грассмана с ковариантной внешней алгеброй:

$$\Lambda _{\bullet}(V\oplus V^*),$$ где $V$и $V^*$представляют собой два сложных антиизоморфных векторных пространства (я разобрался с этим сам, поэтому, пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь).

В любом случае суть вопроса не в этом. Предположим, что у вас есть набор чисел Грассмана$\mathscr G$образован двумя элементами$\lbrace \theta,\theta ^* \rbrace$. Мы хотим понять такое выражение, как$P(\theta,\theta ^*) \vert \alpha \rangle$, и мы можем сделать это тем же способом, который позволяет нам умножать действительный вектор на комплексный скаляр: тензорное произведение.

Если «физический» Гильберт$\mathcal H$пространство состоит из векторов:

$$\vert \rangle = \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle,$$ где $\alpha,\beta$обычные комплексные числа, мы определяем векторное пространство $\mathcal H' =\mathscr G \otimes \mathcal H$. Умножение на числа Грассмана можно определить на разложимых тензорах следующим образом: $$Q (P \otimes \vert \rangle)=(QP )\otimes \vert \rangle$$ и продолжена по линейности на все пространство $\mathcal H '$. В частности, старый $\mathcal H$можно рассматривать как подпространство, натянутое на элементы $1\otimes \vert \rangle$, а умножение на скаляр $\lambda$в $\mathcal H$согласуется с умножением на «число Грассмана» $\lambda$на $\mathcal H '$.

Все остальное - просто формальные манипуляции, плюс какое-то специальное определение, например, чтобы понять смысл спряжения$P\vert \rangle \to \langle \vert P^*$. Например, вы можете ввести «когерентное состояние»

$$\vert \theta \rangle = \vert 0\rangle + \theta \vert 1\rangle,$$ который является собственным вектором $a\equiv\text {id}_{\mathscr G} \otimes a$: $$a\vert \theta \rangle = \theta \vert \theta \rangle,$$ что может быть причиной того, что в вашей книге представлены числа Грассмана.