Можно ли сказать, является ли потенциал неограниченным, используя только теорию возмущений?

Очень распространенная обратная задача в математической физике заключается в попытке понять потенциал квантово-механической системы с учетом ее данных рассеяния. Такие задачи, хотя и очень интересные, очень сложны и обычно неправильно поставлены. Я пытаюсь понять одну обратную задачу, которая, как мне кажется, особенно проста.

Некоторые квантово-механические модели плохо определены, потому что их потенциал не ограничен снизу (например, ф 3 ). Тем не менее, теория возмущений обычно хорошо определена, по крайней мере, в смысле формальных степенных рядов. Что касается диаграмм Фейнмана, теории ф 3 и ф 4 принципиально не отличаются, хотя только второй представляет собой приближение к осмысленной непертурбативной теории. То же самое можно сказать и о стандартных квантово-механических моделях, таких как ангармонический осциллятор с членами кубической и четвертой степени.

Предположим, что нам дано произвольно большое, но конечное число членов в пертурбативном разложении, скажем, статистической суммы некоторой неизвестной системы. (Напомним, что логарифм статистической суммы представляет собой энергию основного состояния, поэтому в принципе он наблюдаем). Вопрос: Можем ли мы предсказать, ограничен ли снизу потенциал такого ряда?

Иными словами, один член ряда теории возмущений качественно идентичен в ограниченном и неограниченном случаях. Но что, если мы уменьшим масштаб и посмотрим на множество терминов? Содержит ли (усеченный) ряд какую-либо информацию, позволяющую нам отличить их друг от друга? Или ряд действительно не обращает внимания на поведение потенциала вдали от положения равновесия?

Мне кажется ясным, что по усеченному ряду мы можем в лучшем случае предсказать вероятность того, что потенциал ограничен. Чем больше терминов, тем лучше прогноз (в смысле доверительного интервала). Пока число конечно, мы никогда не можем быть уверены, что потенциал ограничен или нет. Но существует ли вообще такая вероятностная оценка? или действительно невозможно даже предсказать вероятность?

Кажется, это математический вопрос о том, насколько хорошо усеченный ряд может представлять функцию, которая требует бесконечного ряда членов.
@sammygerbil Нет, меня не интересует, насколько хорошо серия представляет наблюдаемую. Меня интересует информация, содержащаяся в серии, независимо от любого понятия конвергенции. Ряд не имеет числового значения; важна последовательность его коэффициентов. Другими словами, формальный степенной ряд в его строгом математическом смысле (а не то расплывчатое понятие формального ряда, которое обычно используют физики). Но да: мой вопрос в основном математический (хотя это не делает его оффтопическим: речь идет о математической физике, которая является онтопической)
Ваш вопрос кажется сложным в целом, но можно сделать тривиальное наблюдение. Брать ф 4 с неправильным знаком связи, что делает потенциал неограниченным снизу. Это будет видно в ряду возмущений: все члены будут иметь один и тот же знак.

Ответы (1)

Надеюсь, я не ошибаюсь; Я думаю, что ответ, безусловно, нет. Допустим, у нас есть потенциал В ( ф ) .

  • Теория возмущений никогда не сможет увидеть неаналитические вещи, такие как е − 1 / Икс 2 . Итак, если в потенциале есть кусок вида ф е − 1 / ф 2 оно не ограничено, и вы никогда не сможете сказать об этом ни по какому ряду возмущений. Еще более простым примером может быть, скажем, дельта ( ф − ф 0 ) для любого отличного от нуля ф 0 .
  • Даже если предположить, что потенциал аналитический, любое конечное усечение ничего не может сказать. Позволять
    В ( ф ) "=" ∑ н "=" 0 ∞ с н г н ф н
    где г наш параметр расширения. Если мы расширим любое количество до заказа г м мы знаем только коэффициенты до с м . Но неважно, или нет
    В м ( ф ) "=" ∑ н "=" 0 м с н г н ф н
    ограничена снизу, так как полностью перекрывается даже просто с м + 1 один. Для любого распределения вероятностей на с н как угодно, лишь бы все с н может быть как положительным, так и отрицательным, а с н независимы, знание любого конечного усечения дает ровно нулевую информацию.
  • В качестве альтернативы мы могли бы использовать гораздо более специальный априор для с н . Например, если бы мы каким-то образом знали полную суммированную форму В ( ф ) был, скажем,
    В ( ф ) "=" ( полином конечного порядка с  О ( 1 )  коэффициенты ) × ( экспоненциальный )
    тогда мы действительно получили бы немного информации в каждом порядке теории возмущений о том, растет экспонента или затухает. Однако я думаю, что бессмысленно назначать априор вне какого-либо физического контекста, чтобы дать нам подсказку о том, что такое UV-завершение. Если вы укажете контекст, ваш вопрос в основном сводится к «всей физике частиц» (т. Е. Все еще невозможно), поскольку поиск UV-завершений из физических данных - это то, чем занимается поле.
Хотя я согласен с тем, что теория возмущений конечного порядка никогда не может однозначно определить потенциал, утверждение, что «теория возмущений никогда не может видеть неаналитические вещи», кажется, пожалуй, слишком сильным. Действительно, в последнее время проводились активные исследования «возрождения» в КТП, и (в случаях, которые поддаются вычислению) существуют нетривиальные сокращения между расходимостями в пересуммированных рядах возмущений и инстантонами, которые необходимы для того, чтобы теория была квазиклассически четко определенной. . Вы можете сделать то же самое в простом QM, но, насколько я знаю, вы просто заново открываете суммирование Бореля.
Не могли бы вы помочь мне лучше увидеть ваш первый пункт? Я чувствую, что такой термин, как г ф е − 1 / ф 2 будет по-прежнему способствовать теории возмущений в той же мере, что и г ф 3 срок бы. Я мог бы добавить термин г Икс е − 1 / Икс 2 к простому гармоническому осциллятору и получить ряд возмущений в г . Дальше, г ф е − 1 / ф 2 по-прежнему будет давать ограниченный снизу потенциал, если предположить, что ф 2 термин существует с правильным знаком.
Можно ли сказать, является ли потенциал неограниченным, используя только теорию возмущений?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v