Существует ли в квантовой механике аналог взаимодействия четвертой степени λϕ4λϕ4\lambda\phi^{4} КТП?

Обратный переход к обычной квантовой механике осуществляется путем выяснения того, как амплитуды вероятности в$N$-состояния частиц эволюционируют со временем. Когда это сделано, частицы взаимодействуют с «термами контакта», потенциалами, которые пропорциональны$\delta(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j)$. Подробности см. в развитии, сделанном в первой главе «Квантовой теории поля точечных частиц и струн» Брайана Хэтфилда.

При этом часто повторяют, что обычная квантовая механика — это всего лишь квантовая теория поля с нулевыми пространственными измерениями. Под отображением подразумевается$\phi^4$теория станет

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 + \lambda x^4.$$ Поскольку счетное количество частиц представляет собой просто сумму, путем добавления индексов к $p$и $x$.

Переход обратно к механике сплошных сред сложен, и я не знаю всех деталей наверняка (учебники обычно немного колеблются в отношении этого пути). Однако я могу с уверенностью сказать, что любой термин, который смешивается$x_i \rightarrow f_i \sqrt{h^3}$с разными индексами, где$h$— расстояние между соседними узлами, либо станет производной, либо исчезнет при континуальном переходе. $\lambda$дискретной теории пришлось бы переназначить$\lambda\rightarrow \lambda h^{-3}$например, для того, чтобы сохранить$\lambda \phi^4$срок от обращения в нуль в пределе$h \rightarrow 0$. Все$m_i$должны быть одинаковыми (скажем,$1$), по лоренц-инвариантности, и пружины, соединяющие$x_i$должны были бы иметь пружинные константы, которые расходятся, как$h^{-1}$для получения пространственных производных между необходимыми сайтами. Таким образом, промежуточный гамильтониан имеет вид

$$\begin{align} H &= \sum_{i,j,k=-N}^N \left[\frac{1}{2}p_{i,j,k}^2 h^3 + \frac{1}{2} (f_{i+1,j,k}-f_{i,j,k})^2 h^2 + \frac{1}{2} (f_{i,j+1,k}-f_{i,j,k})^2 h^2 + \frac{1}{2} (f_{i,j,k+1}-f_{i,j,k})^2 h^2 \right. \\ & \hphantom{= \sum_{i,j,k=-N}^N}\ \ \left. + \frac{m^2}{2}f_{i,j,k}^2 h^3 + \lambda f_{i,j,k}^4 h^3\right] \end{align}$$ и механика сплошной среды восстанавливается путем применения $\lim_{h\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty}$.

Обратите внимание, что преобразование, где$x_i\rightarrow f_i\sqrt{h^3}$и$p_i\rightarrow p_i\sqrt{h^3}$не является канонической заменой переменных. Начиная с лагранжиана, из определения канонически сопряженного импульса легко показать, что$p_i$превратится как$p_i \rightarrow p_i h^{-3/2}$если бы. Здесь происходит то, что для того, чтобы получить чистый гамильтониан, который становится интегралом плотности, нам нужно изменить каноническое коммутационное соотношение, чтобы оно читалось

$$[f_{i,j,k},\, p_{n,\ell,m}] = i\hbar \delta_{in}\delta_{j\ell}\delta_{km} h^{-3},$$ где правая часть теперь фактически становится дельта-функцией Дирака в непрерывном пределе, вместо того, чтобы просто говорить, что дельты Кронекера становятся дельтами Дирака.

Все это говорит о том, что обычный переход обратно к обычному QM, упомянутый в первом абзаце, является таким запутанным. В обычном КМ$x$— наблюдаемое положение некоторой частицы. В КТП положения частиц по-прежнему являются фундаментальными наблюдаемыми, просто теперь частицы описываются как возбуждения в поле. Напряженность поля нельзя наблюдать напрямую, однако ее можно просто вывести в среднем, когда она достаточно сильна, чтобы не подвергаться значительным возмущениям при введении нескольких небольших тестовых частиц, положение которых мы измеряем.